Calcule

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao Cálculo de Limites, mais especificamente usando propriedades de funções trigonométricas e transformações de expressões exponenciais. Para resolver, precisaremos entender como o cosseno se comporta perto de zero e como manipular expressões exponenciais envolvendo logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de 0. Sabemos que, próximo de zero, o cosseno pode ser aproximado pela série de Taylor:
Portanto,
Isso simplifica nossa expressão original para:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão usando propriedades dos logaritmos e exponenciais para facilitar o cálculo do limite:
Isso nos permite focar no limite do expoente:

Passo 4

Vamos simplificar o logaritmo:
Substituindo de volta no limite:
Podemos separar os termos:

Passo 5

Analisando cada limite separadamente:
  1. : Conforme se aproxima de 0 por valores negativos, tende a 0 e tende a . A fração então tende a porque .
  2. : Aqui, é uma constante positiva e tende a 0 por valores negativos, então a fração tende a .
No entanto, o termo dominante é , que vai para . Portanto, todo o expoente tende a .

Resposta

Assim, o limite é .

Exercícios relacionados

(2.0) Seja
o campo elétrico criado por uma carga localizada na origem. Mostre que o fluxo de através da superfície esférica de raio e centrada na origem com normal apontando para fora da esfera independe de .
) Sabendo que , para todo , qual o valor de ? Justifique a sua resposta.
Calcule os limites, sabendo que eles existem e são finitos:
Calculando a expressão para , obtém-se . Sabemos que . Há portanto pelo menos um erro na solução da inequação:
Encontre o(s) erro(s) e explique-o(s).