Calcule
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse exercício está relacionado ao Cálculo de Limites, mais especificamente usando propriedades de funções trigonométricas e transformações de expressões exponenciais. Para resolver, precisaremos entender como o cosseno se comporta perto de zero e como manipular expressões exponenciais envolvendo logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 0. Sabemos que, próximo de zero, o cosseno pode ser aproximado pela série de Taylor:
Portanto,
Isso simplifica nossa expressão original para:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a expressão usando propriedades dos logaritmos e exponenciais para facilitar o cálculo do limite:
Isso nos permite focar no limite do expoente:
Passo 4
Vamos simplificar o logaritmo:
Substituindo de volta no limite:
Podemos separar os termos:
Passo 5
Analisando cada limite separadamente:
-
: Conforme se aproxima de 0 por valores negativos, tende a 0 e tende a . A fração então tende a porque . -
: Aqui, é uma constante positiva e tende a 0 por valores negativos, então a fração tende a .
No entanto, o termo dominante é
, que vai para
. Portanto, todo o expoente tende a
.
Resposta
Assim, o limite
é
.
Exercícios relacionados
(2.0) Seja
o campo elétrico criado por uma carga
localizada na origem. Mostre que o fluxo de
através da superfície esférica de raio
e centrada na origem com normal
apontando para fora da esfera independe de
.
Calcule os limites, sabendo que eles existem e são finitos:
Calculando a expressão
para
, obtém-se
. Sabemos que
. Há portanto pelo menos um erro na solução da inequação:
Encontre o(s) erro(s) e explique-o(s).