Calcule lim x 0^-(1-cos x)^1x

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao Cálculo de Limites, mais especificamente usando propriedades de funções trigonométricas e transformações de expressões exponenciais. Para resolver, precisaremos entender como o cosseno se comporta perto de zero e como manipular expressões exponenciais envolvendo logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cos x approx 1 - x^22 quando 1 - cos x approx x^22 se aproxima de 0. Sabemos que, próximo de zero, o cosseno pode ser aproximado pela série de Taylor:
(x^22)^1x
Portanto,
Isso simplifica nossa expressão original para:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão usando propriedades dos logaritmos e exponenciais para facilitar o cálculo do limite:
(x^22)^1x = e^1x cdot ln(x^22)
Isso nos permite focar no limite do expoente:
limx to 0^- 1x cdot ln(x^22)

Passo 4

Vamos simplificar o logaritmo:
ln(x^22) = ln(x^2) - ln(2) = 2ln|x| - ln(2)
Substituindo de volta no limite:
limx to 0^- 1x cdot (2ln|x| - ln(2))
Podemos separar os termos:
2 cdot limx to 0^- ln|x|x - limx to 0^- ln(2)x

Passo 5

Analisando cada limite separadamente:
  1. : Conforme se aproxima de 0 por valores negativos, tende a 0 e tende a . A fração então tende a porque .
  2. : Aqui, é uma constante positiva e tende a 0 por valores negativos, então a fração tende a .
No entanto, o termo dominante é , que vai para . Portanto, todo o expoente tende a .

Resposta

Assim, o limite é .

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