) Sabendo que
, para todo
, qual o valor de
? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito, ou seja,
. Sabemos que para todo
, a função
está entre duas outras funções:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), que nos ajuda a encontrar o limite de uma função que está “preso” entre duas outras funções cujo limite já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as duas funções que estão delimitando
.
Para a função da esquerda:
Quando
tende ao infinito,
tende a 0. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função da direita:
Quando
tende ao infinito,
também tende a 0. Portanto:
Passo 4
Agora que temos os limites das duas funções que “sanduicham”
, podemos aplicar o Teorema do Sanduíche. Esse teorema diz que se
para todo
em algum intervalo, e se
, então:
No nosso caso,
.
Resposta
Assim, pelo Teorema do Sanduíche, temos que: