) Sabendo que , para todo , qual o valor de ? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite de quando tende ao infinito, ou seja, . Sabemos que para todo , a função está entre duas outras funções:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), que nos ajuda a encontrar o limite de uma função que está “preso” entre duas outras funções cujo limite já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as duas funções que estão delimitando .
Para a função da esquerda:
Quando tende ao infinito, tende a 0. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função da direita:
Quando tende ao infinito, também tende a 0. Portanto:
Passo 4
Agora que temos os limites das duas funções que “sanduicham” , podemos aplicar o Teorema do Sanduíche. Esse teorema diz que se para todo em algum intervalo, e se , então: