3^a ) Sabendo que <4 x-1x, para todo x>5, qual o valor de lim x +infty f(x) ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite de 4x - 1x < f(x) < 4x^2 + 3xx^2 quando tende ao infinito, ou seja, . Sabemos que para todo , a função está entre duas outras funções:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), que nos ajuda a encontrar o limite de uma função que está “preso” entre duas outras funções cujo limite já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as duas funções que estão delimitando 4x - 1x = 4xx - 1x = 4 - 1x .
Para a função da esquerda:
limx +infty (4 - 1x) = 4
Quando tende ao infinito, tende a 0. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função da direita:
4x^2 + 3xx^2 = 4x^2x^2 + 3xx^2 = 4 + 3x
Quando limx +infty (4 + 3x) = 4 tende ao infinito, também tende a 0. Portanto:

Passo 4

Agora que temos os limites das duas funções que “sanduicham” limx +infty f(x) = L , podemos aplicar o Teorema do Sanduíche. Esse teorema diz que se para todo em algum intervalo, e se , então:
No nosso caso, .

Resposta

Assim, pelo Teorema do Sanduíche, temos que:
limx +infty f(x) = 4

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