) Sabendo que , para todo , qual o valor de ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite de quando tende ao infinito, ou seja, . Sabemos que para todo , a função está entre duas outras funções:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), que nos ajuda a encontrar o limite de uma função que está “preso” entre duas outras funções cujo limite já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as duas funções que estão delimitando .
Para a função da esquerda:
Quando tende ao infinito, tende a 0. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função da direita:
Quando tende ao infinito, também tende a 0. Portanto:

Passo 4

Agora que temos os limites das duas funções que “sanduicham” , podemos aplicar o Teorema do Sanduíche. Esse teorema diz que se para todo em algum intervalo, e se , então:
No nosso caso, .

Resposta

Assim, pelo Teorema do Sanduíche, temos que:

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4 ) Considere a função Verifique a continuidade de em cada ponto e justifique a sua resposta:
a) para
) Calcule os limites das funções a seguir, quando eles existirem.
d)
(2.0) Seja
o campo elétrico criado por uma carga localizada na origem. Mostre que o fluxo de através da superfície esférica de raio e centrada na origem com normal apontando para fora da esfera independe de .
Calcule