(2.0) Seja
o campo elétrico criado por uma carga
localizada na origem. Mostre que o fluxo de
através da superfície esférica de raio
e centrada na origem com normal
apontando para fora da esfera independe de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo elétrico
gerado por uma carga
na origem. O exercício pede pra mostrar que o fluxo
desse campo através de uma esfera de raio
(com o centro na origem) não depende de
. Basicamente, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. O fluxo
de um campo elétrico
através de uma superfície fechada
é dado por:
Aqui,
é o vetor normal à superfície que aponta para fora.
Passo 3
Vamos analisar o campo elétrico fornecido:
Podemos simplificar isso para:
Perceba que
, onde
é a distância até a origem.
Passo 4
Na esfera de raio
, o vetor posição é
e o vetor normal
é na mesma direção de
, ou seja,
.
Então, o produto escalar
fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico
:
Como
é constante sobre a superfície esférica, podemos simplificar:
Resposta
O fluxo elétrico
através da esfera é
, independente do raio
.