(2.0) Seja
E(x, y, z) = (q / (x^2 + y^2 + z^2)) * ((x * i + y * j + z * k) / raiz(x^2 + y^2 + z^2))
o campo elétrico criado por uma carga q localizada na origem. Mostre que o fluxo de E através da superfície esférica de raio r e centrada na origem com normal n apontando para fora da esfera independe de r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo elétrico gerado por uma carga na origem. O exercício pede pra mostrar que o fluxo desse campo através de uma esfera de raio (com o centro na origem) não depende de . Basicamente, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. O fluxo de um campo elétrico através de uma superfície fechada é dado por:
Aqui, é o vetor normal à superfície que aponta para fora.

Passo 3

Vamos analisar o campo elétrico fornecido:
Podemos simplificar isso para:
Perceba que , onde é a distância até a origem.

Passo 4

Na esfera de raio , o vetor posição é e o vetor normal é na mesma direção de , ou seja, .
Então, o produto escalar fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico :
Como é constante sobre a superfície esférica, podemos simplificar:

Resposta

O fluxo elétrico através da esfera é , independente do raio .

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