Calcule os limites, sabendo que eles existem e são finitos: lim x infty raiz4 x^2+x+1-2 x

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x infty raiz4 x^2+x+1-2 x. Esse exercício envolve o estudo de limites no infinito e o uso de técnicas de simplificação de expressões com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na expressão dentro da raiz: 4x^2 + x + 1. Para simplificar, podemos fatorar o termo de maior grau, que é 4x^2. Assim:
raiz4x^2 + x + 1 = raiz4x^2(1 + x4x^2 + 14x^2) = raiz4x^2 cdot raiz1 + 14x + 14x^2

Passo 3

Sabemos que raiz4x^2 = 2x quando x tende ao infinito. Portanto, a expressão fica:
2x cdot raiz1 + 14x + 14x^2
Agora, a expressão original é:
raiz4x^2 + x + 1 - 2x = 2x cdot raiz1 + 14x + 14x^2 - 2x

Passo 4

Podemos fatorar o 2x:
2x ( raiz1 + 14x + 14x^2 - 1 )
Agora, para simplificar raiz1 + 14x + 14x^2 - 1, usamos a aproximação para raízes quadradas quando o termo dentro da raiz está próximo de 1:
raiz1 + epsilon approx 1 + epsilon2
onde epsilon = 14x + 14x^2

Passo 5

Aplicando a aproximação:
raiz1 + 14x + 14x^2 - 1 approx 18x + 18x^2
Substituindo de volta na expressão:
2x ( 18x + 18x^2 ) = 2x8x + 2x8x^2 = 14 + 14x

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando x tende ao infinito:
limx to infty ( 14 + 14x ) = 14 + 0 = 14

Resposta

O limite é 14.

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