Calcule:
lim x 0^+(1-cos x)^1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente tratando de limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites, séries de Taylor para a função cosseno e um pouco de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o cálculo do limite aplicando o logaritmo natural. Isso é útil porque transforma a potência em uma multiplicação, que é mais fácil de manejar. Então, vamos considerar:
L = limx to 0^+ (1 - cos x)^1x
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
ln L = limx to 0^+ ln(1 - cos x)x

Passo 3

Agora, precisamos calcular cos x = 1 - x^22 + x^424 - dots . Para isso, vamos usar a série de Taylor da função cosseno perto de 1 - cos x = x^22 - x^424 + dots :
1 - cos x approx x^22
Subtraindo de 1:
Para valores de muito pequenos, os termos de ordem superior (como ) se tornam desprezíveis, então podemos aproximar:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão do logaritmo:
ln(1 - cos x) approx ln(x^22) = ln(x^2) - ln 2 = 2 ln x - ln 2
Então, a expressão para ln L = limx to 0^+ 2 ln x - ln 2x fica:

Passo 5

Agora, vamos dividir os termos:
ln L = limx to 0^+ ( 2 ln xx - ln 2x )
Analisando cada limite separadamente:
  1. ln L = 2 times (-infty) - (+infty) = -infty : Sabemos que tende a e tende a 0 por valores positivos, então tende a .
  2. : Como tende a 0 e é constante positiva, tende a .
Então:

Passo 6

Como L = e^-infty = 0 , podemos encontrar aplicando a função exponencial em ambos os lados:

Resposta

O limite é igual a .

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