Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente tratando de limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites, séries de Taylor para a função cosseno e um pouco de álgebra para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o cálculo do limite aplicando o logaritmo natural. Isso é útil porque transforma a potência em uma multiplicação, que é mais fácil de manejar. Então, vamos considerar:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
. Para isso, vamos usar a série de Taylor da função cosseno perto de
:
Subtraindo de 1:
Para valores de
muito pequenos, os termos de ordem superior (como
) se tornam desprezíveis, então podemos aproximar:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão do logaritmo:
Então, a expressão para
fica:
Passo 5
Agora, vamos dividir os termos:
Analisando cada limite separadamente:
-
: Sabemos que tende a e tende a 0 por valores positivos, então tende a . -
: Como tende a 0 e é constante positiva, tende a .
Então:
Passo 6
Como
, podemos encontrar
aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Resposta
O limite é igual a
.
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tem um ponto de inflexão em
mas que
não exista.
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