Calcule lim x 0^-(1-cos x)^1x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de quando se aproxima de . Isso está dentro do conteúdo de limites em cálculo, e pra resolver vamos precisar entender algumas propriedades de limites e um pouco de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma função contínua, então quando se aproxima de 0, se aproxima de . Assim, o número dentro do parênteses, , está se aproximando de 0.

Passo 3

A expressão L = limx to 0^- (1 - cos x)^1x tem a forma ln L = limx to 0^- ln (1 - cos x)x , que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos usar o logaritmo natural para facilitar a manipulação. Vamos chamar o limite de :
Tirando o logaritmo dos dois lados:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de 1 - cos x approx x^22 quando ln (1 - cos x) approx ln ( x^22 ) = ln x^2 - ln 2 = 2 ln |x| - ln 2 tende a 0. Sabemos que pode ser aproximado por quando é pequeno (a série de Taylor). Então:
Substituindo na expressão do logaritmo:
Como está se aproximando de 0 pela esquerda, , mas o logaritmo de simplifica essa consideração.

Passo 5

Substituindo de volta no limite:
ln L = limx to 0^- 2 ln |x| - ln 2x
Podemos separar os termos:
ln L = 2 limx to 0^- ln |x|x - limx to 0^- ln 2x
O primeiro limite, , tende a porque tende a e tende a 0 pela esquerda (valores negativos pequenos), então . O segundo limite, , tende a porque é positivo e tende a 0 pela esquerda.

Passo 6

Então, temos:
ln L = 2 cdot (+infty) - (-infty) = +infty + infty = +infty
Isso significa que tende a , logo .

Resposta

O limite é infinito.

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