Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Isso está dentro do conteúdo de limites em cálculo, e pra resolver vamos precisar entender algumas propriedades de limites e um pouco de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma função contínua, então quando
se aproxima de 0,
se aproxima de
. Assim, o número dentro do parênteses,
, está se aproximando de 0.
Passo 3
A expressão
tem a forma
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos usar o logaritmo natural para facilitar a manipulação. Vamos chamar o limite de
:
Tirando o logaritmo dos dois lados:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende a 0. Sabemos que
pode ser aproximado por
quando
é pequeno (a série de Taylor). Então:
Substituindo na expressão do logaritmo:
Como
está se aproximando de 0 pela esquerda,
, mas o logaritmo de
simplifica essa consideração.
Passo 5
Substituindo de volta no limite:
Podemos separar os termos:
O primeiro limite,
, tende a
porque
tende a
e
tende a 0 pela esquerda (valores negativos pequenos), então
. O segundo limite,
, tende a
porque
é positivo e
tende a 0 pela esquerda.
Passo 6
Então, temos:
Isso significa que
tende a
, logo
.
Resposta
O limite
é infinito.
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Determine a derivada.
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