Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de quando se aproxima de . Isso está dentro do conteúdo de limites em cálculo, e pra resolver vamos precisar entender algumas propriedades de limites e um pouco de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma função contínua, então quando se aproxima de 0, se aproxima de . Assim, o número dentro do parênteses, , está se aproximando de 0.

Passo 3

A expressão tem a forma , que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos usar o logaritmo natural para facilitar a manipulação. Vamos chamar o limite de :
Tirando o logaritmo dos dois lados:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de quando tende a 0. Sabemos que pode ser aproximado por quando é pequeno (a série de Taylor). Então:
Substituindo na expressão do logaritmo:
Como está se aproximando de 0 pela esquerda, , mas o logaritmo de simplifica essa consideração.

Passo 5

Substituindo de volta no limite:
Podemos separar os termos:
O primeiro limite, , tende a porque tende a e tende a 0 pela esquerda (valores negativos pequenos), então . O segundo limite, , tende a porque é positivo e tende a 0 pela esquerda.

Passo 6

Então, temos:
Isso significa que tende a , logo .

Resposta

O limite é infinito.

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É correto afirmar que o volume de uma piramide de base quadrada com lado L e cuja altura 6́ h, será:
Determine a derivada.
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