Calcule
lim x 0 2^x-cos (x)sin (x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites que resultam em formas indeterminadas, como , e possivelmente usar a Regra de L’Hôpital ou as Séries de Taylor para expandir as funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 2^0 - cos(0)sin(0) = 1 - 10 = 00 na expressão:
Essa é uma forma indeterminada, o que significa que não podemos concluir o limite apenas substituindo os valores. Então, precisamos de uma técnica para resolver isso.

Passo 3

Uma das ferramentas que podemos usar é a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração que resulta em lim x 0 2^x-cos (x)sin (x) = lim x 0 ddx(2^x - cos(x))ddx(sin(x)) ou derivando o numerador e o denominador separadamente.
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • A derivada de lim x 0 2^x ln(2) + sin(x)cos(x) em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, a expressão derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos novamente substituir 2^0 ln(2) + sin(0)cos(0) = 1 cdot ln(2) + 01 = ln(2) na nova expressão:

Resposta

O limite é .

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