Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites que resultam em formas indeterminadas, como
, e possivelmente usar a Regra de L’Hôpital ou as Séries de Taylor para expandir as funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão:
Essa é uma forma indeterminada, o que significa que não podemos concluir o limite apenas substituindo os valores. Então, precisamos de uma técnica para resolver isso.
Passo 3
Uma das ferramentas que podemos usar é a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração que resulta em
ou
derivando o numerador e o denominador separadamente.
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, a expressão derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos novamente substituir
na nova expressão:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Determine
e
tais que
Avalie o limite
.