Calcule
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites que resultam em formas indeterminadas, como , e possivelmente usar a Regra de L’Hôpital ou as Séries de Taylor para expandir as funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos na expressão:
Essa é uma forma indeterminada, o que significa que não podemos concluir o limite apenas substituindo os valores. Então, precisamos de uma técnica para resolver isso.

Passo 3

Uma das ferramentas que podemos usar é a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração que resulta em ou derivando o numerador e o denominador separadamente.
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, a expressão derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos novamente substituir na nova expressão:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto .
Determine e tais que
Avalie o limite
.