Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever os primeiros cinco termos da sequência , e depois descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, precisamos encontrar o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os termos da sequência e usar conhecimentos de limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência substituindo pelos valores de 1 a 5 na expressão :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, os cinco primeiros termos são: , , , , .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência converge ou diverge. Para isso, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito.
Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por :
Quando fica muito grande, se aproxima de 0. Então, a expressão fica:

Resposta

A sequência converge para .

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Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto .
Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral abaixo quanto a convergência:
Calcule
.
Determine e tais que