Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever os primeiros cinco termos da sequência
, e depois descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, precisamos encontrar o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os termos da sequência e usar conhecimentos de limites de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência substituindo
pelos valores de 1 a 5 na expressão
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, os cinco primeiros termos são:
,
,
,
,
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência converge ou diverge. Para isso, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito.
Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por
:
Quando
fica muito grande,
se aproxima de 0. Então, a expressão fica:
Resposta
A sequência converge para
.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral abaixo quanto a convergência:
Calcule
.
Determine
e
tais que