Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto (1, 1). Para isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas, que é uma técnica para encontrar a derivada quando a equação não está resolvida para uma das variáveis. Vamos precisar lembrar como diferenciar funções que envolvem logaritmos e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando diferenciamos termos que contêm
, precisamos multiplicar pela derivada de
em relação a
(isto é,
).
A equação original é:
Derivando ambos os lados:
Passo 3
Vamos diferenciar o lado esquerdo:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar o lado direito:
A derivada de
é
, e
, então temos:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora, substituímos o ponto
na equação para simplificar.
Passo 7
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 8
Vamos isolar
:
Subtraindo 1 e
de ambos os lados:
Fatorando
:
Então:
Passo 9
Calculando o valor numérico:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 10
Agora que temos a inclinação da reta tangente, podemos usar a fórmula da reta:
Onde
é a inclinação e
é o ponto de tangência
:
Distribuindo o lado direito:
Adicionando 1 aos dois lados:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto (1, 1) é
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Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral abaixo quanto a convergência:
Calcule os seguintes limites
a)
a)
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Calcule
.