Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto (1, 1). Para isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas, que é uma técnica para encontrar a derivada quando a equação não está resolvida para uma das variáveis. Vamos precisar lembrar como diferenciar funções que envolvem logaritmos e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando diferenciamos termos que contêm , precisamos multiplicar pela derivada de em relação a (isto é, ).
A equação original é:
Derivando ambos os lados:

Passo 3

Vamos diferenciar o lado esquerdo:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar o lado direito:
A derivada de é , e , então temos:

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas:
Vamos resolver essa equação para .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Agora, substituímos o ponto na equação para simplificar.

Passo 7

Substituindo e :
Simplificando:

Passo 8

Vamos isolar :
Subtraindo 1 e de ambos os lados:
Fatorando :
Então:

Passo 9

Calculando o valor numérico:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 10

Agora que temos a inclinação da reta tangente, podemos usar a fórmula da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto de tangência :
Distribuindo o lado direito:
Adicionando 1 aos dois lados:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (1, 1) é

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Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral abaixo quanto a convergência:
Calcule os seguintes limites
a)
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Calcule
.