Calcule: lim x 0 1-cos xx sen x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de limites básicos e propriedades das funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando limx to 0 sen xx = 1 se aproxima de 0, tanto quanto limx to 0 1 - cos xx^2 = 12 têm comportamentos específicos que podemos aproveitar. Sabemos que:
E também que:
Essas fórmulas são muito úteis para resolver o nosso limite.

Passo 3

Agora, vamos manipular a expressão original para poder usar essas fórmulas. Observamos que o denominador da nossa expressão é . Podemos reescrever o limite da seguinte forma:

Passo 4

Separando os limites, temos:
Usando as fórmulas que lembramos no Passo 2, podemos substituir:
limx to 0 1 - cos xx^2 cdot limx to 0 xsen x

Passo 5

Portanto, o limite da expressão quando 12 tende a 0 é:

Resposta

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