Determine, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
. A matéria envolvida aqui é estudo de gráficos de funções, especificamente sobre assíntotas. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função não está definida (para as assíntotas verticais) e como ela se comporta quando
vai para o infinito (para as assíntotas horizontais).
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, mas o numerador não é zero nesse ponto. Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Agora, vamos verificar o numerador nesses pontos:
- Para
:
Esse caso é indeterminado, o que pode indicar um buraco no gráfico, não uma assíntota vertical.
- Para
:
Aqui, o numerador é diferente de zero e o denominador é zero, indicando que existe uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais analisando o limite da função quando
tende ao infinito positivo e negativo.
- Para
tendendo a :
- Para
tendendo a :
Em ambos os casos, o limite é 1, o que significa que a função se aproxima da reta
quando
vai para
. Portanto, temos uma assíntota horizontal em
.
Resposta
A função possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.
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