Determine, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais das funções a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função . A matéria envolvida aqui é estudo de gráficos de funções, especificamente sobre assíntotas. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função não está definida (para as assíntotas verticais) e como ela se comporta quando vai para o infinito (para as assíntotas horizontais).

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, mas o numerador não é zero nesse ponto. Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Agora, vamos verificar o numerador nesses pontos:
  • Para :
Esse caso é indeterminado, o que pode indicar um buraco no gráfico, não uma assíntota vertical.
  • Para :
Aqui, o numerador é diferente de zero e o denominador é zero, indicando que existe uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais analisando o limite da função quando tende ao infinito positivo e negativo.
  • Para tendendo a :
  • Para tendendo a :
Em ambos os casos, o limite é 1, o que significa que a função se aproxima da reta quando vai para . Portanto, temos uma assíntota horizontal em .

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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