Calcule os limites, se existirem. Caso não existirem, justifique. lim x 1 3 x^3-4 x^2-x+22 x^3-3 x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em matemática, e vamos precisar usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão e encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 3(1)^3 - 4(1)^2 - 1 + 22(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 3 - 4 - 1 + 22 - 3 + 1 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Como a gente obteve uma forma indeterminada , precisamos simplificar a fração para resolver esse limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador. Primeiro, o numerador:
3x^3 - 4x^2 - x + 2
Sabemos que 3x^3 - 4x^2 - x + 2 = (x - 1)(3x^2 - x - 2) é uma raiz desse polinômio porque, ao substituir , ele se anula. Portanto, podemos dividir o polinômio por :

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador:
2x^3 - 3x^2 + 1
Da mesma forma, sabemos que 2x^3 - 3x^2 + 1 = (x - 1)(2x^2 - x - 1) é uma raiz, então dividimos por :

Passo 5

Agora, substituímos os fatores fatorados na expressão original:
3x^3 - 4x^2 - x + 22x^3 - 3x^2 + 1 = (x - 1)(3x^2 - x - 2)(x - 1)(2x^2 - x - 1)
A gente pode cancelar o 3x^2 - x - 22x^2 - x - 1 que está no numerador e no denominador:

Passo 6

Vamos tentar novamente substituir 3(1)^2 - 1 - 22(1)^2 - 1 - 1 = 3 - 1 - 22 - 1 - 1 = 00 nessa nova expressão:
Ainda temos , então precisamos fatorar mais uma vez.

Passo 7

Vamos fatorar o numerador e o denominador novamente:
Numerador:
3x^2 - x - 2 = (3x + 2)(x - 1)
Denominador:
2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)

Passo 8

Substituímos os fatores novamente:
(3x + 2)(x - 1)(2x + 1)(x - 1)
E cancelamos o 3x + 22x + 1 :

Passo 9

Agora, substituímos 3(1) + 22(1) + 1 = 53 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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