Calcule os limites, se existirem. Caso não existirem, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em matemática, e vamos precisar usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão e encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
na expressão para ver o que acontece:
Como a gente obteve uma forma indeterminada
, precisamos simplificar a fração para resolver esse limite.
Passo 3
Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador. Primeiro, o numerador:
Sabemos que
é uma raiz desse polinômio porque, ao substituir
, ele se anula. Portanto, podemos dividir o polinômio por
:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador:
Da mesma forma, sabemos que
é uma raiz, então dividimos por
:
Passo 5
Agora, substituímos os fatores fatorados na expressão original:
A gente pode cancelar o
que está no numerador e no denominador:
Passo 6
Vamos tentar novamente substituir
nessa nova expressão:
Ainda temos
, então precisamos fatorar mais uma vez.
Passo 7
Vamos fatorar o numerador e o denominador novamente:
Numerador:
Denominador:
Passo 8
Substituímos os fatores novamente:
E cancelamos o
:
Passo 9
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.
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