Calcule: lim x 1 f(x)-f(1)x-1 em que f(x)= x+1 & se x >= 1 2 x & se x<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de quando se aproxima de 1. A função é definida de duas maneiras diferentes:
  • Se , então .
  • Se , então .
Vamos usar conceitos de limites e funções definidas por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar f(1) = 1 + 1 = 2 . Como , usamos a primeira definição:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite quando limx to 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = limx to 1^+ (x + 1) - 2x - 1 = limx to 1^+ x - 1x - 1 = limx to 1^+ 1 = 1 se aproxima de 1 pela direita, ou seja, . Nessa região, , então :

Passo 4

Agora, vamos ver o limite quando limx to 1^- f(x) - f(1)x - 1 = limx to 1^- 2x - 2x - 1 = limx to 1^- 2(x - 1)x - 1 = limx to 1^- 2 = 2 se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, . Nessa região, , então :

Passo 5

Observamos que o limite pela direita é 1 e pela esquerda é 2. Como esses valores são diferentes, o limite geral quando se aproxima de 1 não existe.

Resposta

O limite não existe.

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