Determine a inversa das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de matemática que pede para encontrar a função inversa da função onde . Isso cai no conteúdo de funções inversas, que é basicamente descobrir qual função “desfaz” a função original. Para isso, vamos precisar manipular a equação para isolar em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma função inversa. Se é uma função, sua inversa satisfaz a condição . Então, vamos começar substituindo por :

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar em termos de . Para isso, vamos resolver a equação acima para . Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 4

Agora, vamos distribuir o no lado esquerdo:
Em seguida, vamos rearranjar os termos para trazer todos os termos com para um lado da equação:

Passo 5

Fatorando dos primeiros dois termos:
Agora, isolamos :
Simplificando o lado direito:

Passo 6

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Lembrando que , já que foi dado no enunciado:

Resposta

A função inversa de para é:

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Calcule: em que
Derive.