Calcule: lim x 1^+ f(x)-f(1)x-1 em que f(x)= x+1 & se x >= 1 2 x & se x<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de f(x) - f(1)x - 1 quando x se aproxima de 1 pela direita ( x 1^+). A função f(x) é definida por partes:
f(x)= x + 1 & se x >= 1 2x & se x <1
Vamos precisar entender como a função se comporta perto de 1 e aplicar conceitos de limites.

Passo 2

Como estamos olhando para x se aproximando de 1 pela direita, ou seja, valores de x maiores que 1, usamos a parte da função que vale x + 1. Então, para x próximo de 1 pela direita, temos:
f(x) = x + 1

Passo 3

Agora, vamos calcular f(1). Como x = 1 está incluído na condição x >= 1, usamos também a parte x + 1:
f(1) = 1 + 1 = 2

Passo 4

Substituímos f(x) e f(1) na expressão do limite:
limx 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = limx 1^+ (x + 1) - 2x - 1 = limx 1^+ x - 1x - 1

Passo 5

Simplificamos a fração x - 1x - 1. Para x neq 1, isso resulta em 1:
x - 1x - 1 = 1

Passo 6

Agora, calculamos o limite de uma constante:
limx 1^+ 1 = 1

Resposta

O limite é 1.

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