c) Estime
erro de truncamento máximo cometido no ponto
, use 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para estimar o erro de truncamento máximo no ponto
. Esse tipo de erro aparece quando a gente usa aproximações para resolver problemas matemáticos, tipo derivadas ou integrais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e como elas ajudam a estimar esse erro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é erro de truncamento. Basicamente, quando a gente usa uma aproximação (como uma série de Taylor) e para a série em um certo termo, o erro de truncamento é a diferença entre a aproximação que fizemos e o valor real. Ou seja, é o quanto a nossa aproximação “pulou” pra chegar até onde parou.
Passo 3
Agora, para estimar esse erro no ponto
, vamos supor que estamos usando uma aproximação de Taylor até o n-ésimo termo. O erro de truncamento então pode ser estimado usando o próximo termo da série, que não incluímos na aproximação. A fórmula geral para o erro de truncamento é:
Aqui,
é a (n+1)-ésima derivada da função avaliada em algum ponto
entre
e
, e
é o ponto em que estamos expandindo a série de Taylor.
Passo 4
Vamos aplicar isso no nosso caso. Imagine que estamos expandindo a série de Taylor em torno de
para o ponto
. Suponha que a gente parou na n-ésima derivada, então para estimar o erro de truncamento máximo, precisamos da (n+1)-ésima derivada.
Por exemplo, se estamos usando uma aproximação linear (primeiro termo após o constante), então
e precisamos da segunda derivada:
Passo 5
Para encontrar o erro máximo, assumimos que
está no seu valor máximo no intervalo considerado. Sem a função específica, vamos supor que
. Então, o erro máximo fica:
Passo 6
Você precisaria saber o valor máximo de
no intervalo entre 2 e 2,1 para calcular exatamente. Mas, se não tiver essa informação, a expressão
já te dá uma ideia de como o erro depende de
.
Resposta
O erro de truncamento máximo estimado no ponto
é
, onde
é o valor máximo da segunda derivada da função no intervalo considerado.