c) Estime o erro de truncamento máximo cometido no ponto x=2,1, use 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para estimar o erro de truncamento máximo no ponto . Esse tipo de erro aparece quando a gente usa aproximações para resolver problemas matemáticos, tipo derivadas ou integrais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e como elas ajudam a estimar esse erro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é erro de truncamento. Basicamente, quando a gente usa uma aproximação (como uma série de Taylor) e para a série em um certo termo, o erro de truncamento é a diferença entre a aproximação que fizemos e o valor real. Ou seja, é o quanto a nossa aproximação “pulou” pra chegar até onde parou.

Passo 3

Agora, para estimar esse erro no ponto En = f^(n+1)(c)(n+1)!(x - a)^n+1 , vamos supor que estamos usando uma aproximação de Taylor até o n-ésimo termo. O erro de truncamento então pode ser estimado usando o próximo termo da série, que não incluímos na aproximação. A fórmula geral para o erro de truncamento é:
Aqui, é a (n+1)-ésima derivada da função avaliada em algum ponto entre e , e é o ponto em que estamos expandindo a série de Taylor.

Passo 4

Vamos aplicar isso no nosso caso. Imagine que estamos expandindo a série de Taylor em torno de E1 = f''(c)2!(2,1 - 2)^2 = f''(c)2(0,1)^2 = f''(c)2(0,01) para o ponto . Suponha que a gente parou na n-ésima derivada, então para estimar o erro de truncamento máximo, precisamos da (n+1)-ésima derivada.
Por exemplo, se estamos usando uma aproximação linear (primeiro termo após o constante), então e precisamos da segunda derivada:

Passo 5

Para encontrar o erro máximo, assumimos que |E1| <= M2 times 0,01 = M200 está no seu valor máximo no intervalo considerado. Sem a função específica, vamos supor que . Então, o erro máximo fica:

Passo 6

Você precisaria saber o valor máximo de no intervalo entre 2 e 2,1 para calcular exatamente. Mas, se não tiver essa informação, a expressão já te dá uma ideia de como o erro depende de .

Resposta

O erro de truncamento máximo estimado no ponto é , onde é o valor máximo da segunda derivada da função no intervalo considerado.

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