A equação
tem três raízes. Considere as duas funções de iteração
(b) Mostre que
não produzem um processo iterativo convergente para a raiz próxima de 4 qualquer que seja
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação
que tem três soluções (raízes). A parte (b) quer que a gente mostre que as funções de iteração
e
não conseguem encontrar a raiz perto de 4, não importa qual seja o valor inicial
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre métodos de iteração e a condição para a convergência desses métodos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre métodos de iteração para encontrar raízes de equações. A ideia é usar uma função
que, começando de um palpite inicial
, gera uma sequência
,
, e assim por diante, que idealmente se aproxima da raiz da equação.
Passo 3
Para que esse processo de iteração convirja para uma raiz
, uma condição importante é que o valor absoluto da derivada da função
em
seja menor que 1, ou seja,
. Se isso não for verdade, a sequência pode divergir, ou seja, não chegar perto da raiz desejada.
Passo 4
Vamos encontrar a raiz perto de 4 resolvendo a equação
. Supondo que
seja essa raiz próxima de 4, vamos calcular a derivada das funções de iteração
e
nesse ponto.
Passo 5
Calculando a derivada de
:
E de
:
Passo 6
Agora, avaliamos essas derivadas na raiz
. Sabemos que
, então:
E:
Passo 7
Observamos que
e
, ambos maiores que 1. Segundo a condição de convergência que mencionamos, isso significa que as iterações com
e
não vão convergir para
.
Resposta
Portanto, as funções de iteração
e
não produzem um processo iterativo convergente para a raiz próxima de 4, independentemente do valor inicial
escolhido.
Exercícios relacionados
Considere a equação
. Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
(b) método de Newton.
(b) método de Newton.
Seja
uma raiz da equação
. Supomos que
e
sejam contínuas e limitadas num intervalo fechado
contendo
e que
e
.
(a) Mostre que o método iterativo definido por
(a) Mostre que o método iterativo definido por
converge para
se
.
c) Estime
erro de truncamento máximo cometido no ponto
, use 4 casas decimais.
Calcule:
em que