A equação e^x-3 x^2=0 tem três raízes. Considere as duas funções de iteração
varphi pm(x)= pm raize^x3
(b) Mostre que varphi pmnão produzem um processo iterativo convergente para a raiz próxima de 4 qualquer que seja x0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação que tem três soluções (raízes). A parte (b) quer que a gente mostre que as funções de iteração e não conseguem encontrar a raiz perto de 4, não importa qual seja o valor inicial . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre métodos de iteração e a condição para a convergência desses métodos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre métodos de iteração para encontrar raízes de equações. A ideia é usar uma função que, começando de um palpite inicial , gera uma sequência , , e assim por diante, que idealmente se aproxima da raiz da equação.

Passo 3

Para que esse processo de iteração convirja para uma raiz , uma condição importante é que o valor absoluto da derivada da função em seja menor que 1, ou seja, . Se isso não for verdade, a sequência pode divergir, ou seja, não chegar perto da raiz desejada.

Passo 4

Vamos encontrar a raiz perto de 4 resolvendo a equação . Supondo que seja essa raiz próxima de 4, vamos calcular a derivada das funções de iteração e nesse ponto.

Passo 5

Calculando a derivada de varphi+'(x) = ddx ( raize^x3 ) = 12 ( e^x3 )^-12 cdot e^x3 = 12 cdot e^x3 cdot raiz3e^x = 12 raize^x3 :
E de varphi-'(x) = ddx ( -raize^x3 ) = -varphi+'(x) = -12 raize^x3 :

Passo 6

Agora, avaliamos essas derivadas na raiz varphi+'(x^*) = 12 raiz3(x^*)^23 = 12 |x^*| = 12 cdot 4 = 2 . Sabemos que varphi-'(x^*) = -2 , então:
E:

Passo 7

Observamos que e , ambos maiores que 1. Segundo a condição de convergência que mencionamos, isso significa que as iterações com e não vão convergir para .

Resposta

Portanto, as funções de iteração e não produzem um processo iterativo convergente para a raiz próxima de 4, independentemente do valor inicial escolhido.

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