Calcule lim x 0 f(x). f(x)=x sin 1x

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular o limite de quando se aproxima de 0. Aqui, estamos lidando com limites de funções que envolvem seno e comportamentos próximos a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta e como multiplicar por afeta o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja, para qualquer -1 <= sin(1x) <= 1 , temos:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar toda a desigualdade por - |x| <= x sin(1x) <= |x| (como está se aproximando de 0, consideramos valores próximos a zero, excluindo o próprio zero):

Passo 4

Sabemos que quando limx to 0 -|x| = 0 e limx to 0 |x| = 0 se aproxima de 0, tanto quanto também se aproximam de 0. Isso significa que:

Passo 5

Com isso, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), já que limx to 0 x sin(1x) = 0 está “sanduichado” entre duas funções que ambas tendem a 0 quando tende a 0, podemos concluir que:

Resposta

O limite de quando se aproxima de 0 é 0.

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