Determine as derivadas indicadas. d/dt s se s = t/(2 t + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de quando . Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente usando a regra do quociente e derivação de funções racionais. Vamos precisar lembrar como aplicar essas regras para encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Para isso, usamos a regra do quociente, que é útil quando temos uma função que é a divisão de duas outras funções. A regra do quociente diz que:
No nosso caso, e . Vamos derivar cada uma delas:
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , ou seja, . Isso equivale a encontrar a segunda derivada de em relação a , denotada por .
Temos:
Vamos reescrever isso para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra do poder para derivar:
Derivando :
Então, substituindo de volta:
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A derivada indicada é:

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