(2,0 pontos) Calcule f'(3) sendo que f(x) é dada por f(x) = e^(1/4 * x^2 + 1). Use este valor para encr trar uma equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (3, f(3)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de no ponto x = 3, ou seja, . Depois disso, vamos usar esse valor para encontrar a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (3, f(3)). Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas, em especial a regra da cadeia, já que temos uma função composta dentro do expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , que é a derivada de . Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta, a derivada dela é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.
No nosso caso, a função externa é , onde . Então, a derivada de em relação a x é .

Passo 3

Vamos então calcular onde . A derivada de é e a derivada de 1 é 0. Então, .

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia, temos:
Simplificando, fica:

Passo 5

Agora que temos a expressão para , vamos calcular substituindo x por 3 na fórmula:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor de f(3) para identificar o ponto na curva onde a tangente será traçada. Substituindo x = 3 na função original:
Então, o ponto é .

Passo 7

Com o valor da derivada e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente:
Aqui, a = 3, então substituindo:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (3, f(3)) é:

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