(2,0 pontos) Calcule f'(3) sendo que f(x) é dada por f(x) = e^(1/4 * x^2 + 1). Use este valor para encr trar uma equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (3, f(3)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de no ponto x = 3, ou seja, . Depois disso, vamos usar esse valor para encontrar a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (3, f(3)). Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas, em especial a regra da cadeia, já que temos uma função composta dentro do expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , que é a derivada de . Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta, a derivada dela é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.
No nosso caso, a função externa é , onde . Então, a derivada de em relação a x é .

Passo 3

Vamos então calcular onde . A derivada de é e a derivada de 1 é 0. Então, .

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia, temos:
y = sen(x^2)
Simplificando, fica:
y = sen(x^2)

Passo 5

Agora que temos a expressão para , vamos calcular substituindo x por 3 na fórmula:
y = sen(x^2)
Simplificando:
y = sen(x^2)

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor de f(3) para identificar o ponto na curva onde a tangente será traçada. Substituindo x = 3 na função original:
y = sen(x^2)
Então, o ponto é y = sen(x^2).

Passo 7

Com o valor da derivada e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente:
y = sen(x^2)
Aqui, y = sen(x^2), então substituindo:
a = 3

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (3, f(3)) é:
y = sen(x^2)

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<html><head></head><body><div>Encontre a derivada das funções a seguir.<br>
(a) (2,0 pontos) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“
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data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(605,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“36” d=“M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1688.8,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(2689,0)”><path data-c=“39” 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</body></html>
<html><head></head><body><div>Encontre a derivada das funções a seguir.<br>
(b) (2,0 pontos) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“16.198ex” height=“2.713ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -849.5 7159.4 1199”><title>f(x) = ln(ln(x^2))</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(550,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(939,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 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