(2,0 pontos) Calcule
sendo que
é dada por
. Use este valor para encr trar uma equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de
no ponto
, ou seja,
. Depois disso, vamos usar esse valor para encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas, em especial a regra da cadeia, já que temos uma função composta dentro do expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
, que é a derivada de
. Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta, a derivada dela é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.
No nosso caso, a função externa é
, onde
. Então, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Vamos então calcular
onde
. A derivada de
é
e a derivada de 1 é 0. Então,
.
Passo 4
Agora, aplicando a regra da cadeia, temos:
Simplificando, fica:
Passo 5
Agora que temos a expressão para
, vamos calcular
substituindo
por 3 na fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor de
para identificar o ponto na curva onde a tangente será traçada. Substituindo
na função original:
Então, o ponto é
.
Passo 7
Com o valor da derivada
e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta tangente:
Aqui,
, então substituindo:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é: