Calcule: lim x infty(1+7x)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x infty(1+7x)^x. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como funções que têm a forma (1+ax)^x se comportam quando x tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o número e é uma constante muito importante em matemática, cerca de 2,71828. Uma das definições de e é justamente o limite limx to infty (1 + 1x)^x = e. Vamos usar essa ideia para resolver o nosso problema.

Passo 3

No nosso caso, a expressão dentro do limite é (1 + 7x)^x. Podemos ajustar isso para se relacionar com a definição do e que conhecemos. Observe que temos um 7 no numerador em vez de 1. Isso significa que o limite será uma potência de e.

Passo 4

Para ver isso mais claramente, podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:
(1 + 7x)^x = [(1 + 7x)^x7]^7
Isso nos ajuda a alinhar a expressão com a forma (1 + 1n)^n que define o e.

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite interno: limx to infty (1 + 7x)^x7. Se fizermos uma substituição onde n = x7, então quando x tende ao infinito, n também tende ao infinito. Assim, a expressão se torna (1 + 1n)^n, cujo limite é e.

Passo 6

Substituindo de volta, temos que:
limx to infty (1 + 7x)^x = (limx to infty (1 + 7x)^x7)^7 = e^7

Resposta

O limite é igual a e^7.

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