Mostre que existe um número real tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que existe um número real que satisfaz a equação . Para resolver isso, vamos usar um conceito chamado Teorema do Valor Intermediário, que é da matéria de Cálculo. Esse teorema nos ajuda a garantir a existência de raízes de uma função contínua em um intervalo específico. Vamos precisar definir uma função baseada na equação dada e verificar os valores dessa função em pontos diferentes para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
Agora, definimos a função:
Essa é a função que vamos analisar.

Passo 3

Vamos calcular o valor de em :
Então, .

Passo 4

Agora, calculamos o valor de em :
Portanto, .

Passo 5

Observamos que:
Ou seja, a função muda de negativo para positivo entre e .

Passo 6

Como a função é um polinômio, ela é contínua em todo o seu domínio. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero. Isso significa que existe um entre 1 e 2 tal que .

Resposta

Existe, sim, um número real no intervalo que satisfaz a equação .

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