Mostre que existe um número real
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que existe um número real
que satisfaz a equação
. Para resolver isso, vamos usar um conceito chamado Teorema do Valor Intermediário, que é da matéria de Cálculo. Esse teorema nos ajuda a garantir a existência de raízes de uma função contínua em um intervalo específico. Vamos precisar definir uma função baseada na equação dada e verificar os valores dessa função em pontos diferentes para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
Agora, definimos a função:
Essa é a função que vamos analisar.
Passo 3
Vamos calcular o valor de
em
:
Então,
.
Passo 4
Agora, calculamos o valor de
em
:
Portanto,
.
Passo 5
Observamos que:
Ou seja, a função
muda de negativo para positivo entre
e
.
Passo 6
Como a função
é um polinômio, ela é contínua em todo o seu domínio. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero. Isso significa que existe um
entre 1 e 2 tal que
.
Resposta
Existe, sim, um número real
no intervalo
que satisfaz a equação
.
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