Calcule: lim x 0 3^x+4-81x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado a Cálculo, mais especificamente ao estudo de limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular funções exponenciais e aplicar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 3^x+4 = 3^x times 3^4 . Sabemos que 3^x+4 = 81 times 3^x pode ser reescrito usando a propriedade das potências: . Assim:
Como , temos:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original do limite:
lim x 0 81 times 3^x - 81x
Podemos fatorar 81 na diferença do numerador:
lim x 0 81 (3^x - 1)x

Passo 4

Vamos separar a constante 81 do limite:
81 times lim x 0 3^x - 1x
Agora, precisamos calcular . Esse tipo de limite está relacionado à definição da derivada de uma função exponencial no ponto onde .

Passo 5

Sabemos que a derivada de lim x 0 3^x - 1x = ln(3) em é . Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta no nosso limite original:
81 times ln(3)

Resposta

lim x 0 3^x+4-81x = 81 ln(3)

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