Calcule: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado a Cálculo, mais especificamente ao estudo de limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular funções exponenciais e aplicar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que pode ser reescrito usando a propriedade das potências: . Assim:
Como , temos:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original do limite:
Podemos fatorar 81 na diferença do numerador:

Passo 4

Vamos separar a constante 81 do limite:
Agora, precisamos calcular . Esse tipo de limite está relacionado à definição da derivada de uma função exponencial no ponto onde .

Passo 5

Sabemos que a derivada de em é . Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta no nosso limite original:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule:
Encontre os pontos e valores máximos e mínimos globais de no intervalo dado.
(d)
Mostre que existe um número real tal que .
Calcule: .