Calcule. lim x +infty raiz3+raiz[3]xx^2+3

Passo 1

Vamos calcular o limite . Este exercício envolve o conceito de limites no infinito, que estuda o comportamento de uma função à medida que a variável se aproxima de . Para resolver, precisamos entender como cada termo no numerador e denominador cresce à medida que fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, analisamos os termos do numerador e denominador separadamente:
  • No numerador temos e . À medida que cresce, é uma constante e cresce, mas de forma mais lenta comparada a potências maiores de .
  • No denominador temos e . Aqui, cresce muito mais rápido que a constante .

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, identificamos o termo de maior grau no denominador, que é raiz3 + raiz[3]xx^2 + 3 = raiz3x^2 + raiz[3]xx^21 + 3x^2 . Dividimos cada termo do numerador e do denominador por :

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de cada fração quando :
  • porque o denominador cresce sem limite.
  • porque a potência de no denominador é maior que no numerador.
  • .

Passo 5

Substituindo os limites encontrados de cada fração na expressão simplificada:
0 + 01 + 0 = 01 = 0

Resposta

O limite é .

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