Calcule o lim x -infty raiz4 x^2-x-raiz7+2 x. Sugestão: multiplique e divida por uma certa expressão.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites no infinito para funções que envolvem radicais (raízes quadradas). Para resolver esse tipo de limite, geralmente usamos a técnica de multiplicar e dividir por uma expressão conveniente, muitas vezes o conjugado da expressão que está causando a indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte problemática da expressão, que é . Quando tende a , o termo domina sobre os outros termos dentro da raiz. Portanto, aproximamos a raiz por . Como está tendendo para , , então .

Passo 3

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
raiz4x^2 - x - raiz7 + 2x approx (-2x) + 2x = 0
Mas queremos uma precisão maior, então precisamos refinar nossa aproximação. Para isso, vamos multiplicar e dividir pela expressão conjugada de lim x -infty (raiz4x^2 - x - raiz7 + 2x) times raiz4x^2 - x - raiz7 - 2xraiz4x^2 - x - raiz7 - 2x :

Passo 4

Multiplicando o numerador e o denominador, temos no numerador:
(raiz4x^2 - x - raiz7 + 2x) (raiz4x^2 - x - raiz7 - 2x) = (4x^2 - x - raiz7) - (2x)^2 = -x - raiz7
No denominador, mantemos .

Passo 5

Agora, a expressão se torna:
lim x -infty -x - raiz7raiz4x^2 - x - raiz7 - 2x
Dividindo numerador e denominador por -1 - raiz7xraiz4 - 1x - raiz7x^2 - 2 (lembrando que tende a ):

Passo 6

Quando -1raiz4 - 2 = -12 - 2 = -10 , os termos e tendem a 0. Assim, simplificamos:
Como o denominador tende a 0 e o numerador a -1, o limite tende a ou . Observando o comportamento dos sinais, vemos que o limite tende a .

Resposta

O limite é .

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