Calcule o
. Sugestão: multiplique e divida por uma certa expressão.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com limites no infinito para funções que envolvem radicais (raízes quadradas). Para resolver esse tipo de limite, geralmente usamos a técnica de multiplicar e dividir por uma expressão conveniente, muitas vezes o conjugado da expressão que está causando a indeterminação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte problemática da expressão, que é
. Quando
tende a
, o termo
domina sobre os outros termos dentro da raiz. Portanto, aproximamos a raiz por
. Como
está tendendo para
,
, então
.
Passo 3
Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Mas queremos uma precisão maior, então precisamos refinar nossa aproximação. Para isso, vamos multiplicar e dividir pela expressão conjugada de
:
Passo 4
Multiplicando o numerador e o denominador, temos no numerador:
No denominador, mantemos
.
Passo 5
Agora, a expressão se torna:
Dividindo numerador e denominador por
(lembrando que
tende a
):
Passo 6
Quando
, os termos
e
tendem a 0. Assim, simplificamos:
Como o denominador tende a 0 e o numerador a -1, o limite tende a
ou
. Observando o comportamento dos sinais, vemos que o limite tende a
.
Resposta
O limite é
.