2^n <= 2^(n+1) - 2^(n-1) - 1.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem a seguinte desigualdade para resolver:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais, que são funções onde a variável está no expoente. Para resolver essa desigualdade, vamos precisar usar algumas propriedades das potências e manipular a expressão passo a passo até encontrar o valor de que satisfaz a condição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos do lado direito da desigualdade. Sabemos que:
e
Substituindo essas expressões na desigualdade original, temos:

Passo 3

Agora, vamos combinar os termos semelhantes no lado direito. Somando e :
Então, a desigualdade fica:

Passo 4

Vamos isolar os termos com para um lado da desigualdade. Subtraia de ambos os lados:
Isso simplifica para:

Passo 5

Para facilitar, vamos multiplicar ambos os lados por . Lembre-se que ao multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte:

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão multiplicando por :
Então, a desigualdade fica:

Passo 7

Sabemos que qualquer número elevado a zero é 1, ou seja, . Portanto, queremos encontrar tal que:
Como a função é crescente, podemos comparar os expoentes diretamente:

Passo 8

Resolvendo a desigualdade para :
Adicionando 1 em ambos os lados:

Resposta

A solução da desigualdade é .

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