Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Estamos trabalhando com cálculo de limites no infinito, especialmente envolvendo funções com raízes. Para resolver isso, vamos precisar simplificar as expressões no numerador e no denominador, identificando os termos que mais influenciam o comportamento da função quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador
. Quando
tende ao infinito, o termo
dentro da raiz quadrada domina o
, então podemos simplificar
aproximando por
. Isso nos dá:
Então, o numerador fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador
. Aqui, a expressão dentro da raiz quarta é
. Novamente, para valores grandes de
, o termo dominante é
. Portanto, podemos simplificar:
Assim, o denominador fica aproximadamente:
Passo 4
Agora, substituímos as aproximações do numerador e denominador na expressão do limite:
Para facilitar, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo termo dominante no denominador, que é
:
Passo 5
Agora, observamos o comportamento dos termos quando
tende ao infinito:
Portanto, a expressão simplifica para:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Efetue os produtos (simplifique antes, se possível).
Encontre as raízes abaixo.
Determine se a sequência converge ou diverge
Xavier e Yolanda têm aulas que terminam ao meio-dia e concordaram em se encontrar todo dia depois das aulas. Eles chegam em um café separadamente. O tempo de chegada de Xavier é
e o da Yolanda é
, onde
e
são medidos em minutos após o meio-dia. As funções densidade individuais são
(Xavier chega algumas vezes depois do meio-dia, e é mais provável que ele chegue na hora do que se atrase. Yolanda sempre chega às 12 h 10 e é mais provável que se atrase do que chegue pontualmente.) Depois de Yolanda chegar, ela espera até meia hora por Xavier, mas ele não espera por ela. Determine a probabilidade de eles se encontrarem.