Calcule lim x +infty raizx^2+1+raizxraiz[4]x^3+x-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Estamos trabalhando com cálculo de limites no infinito, especialmente envolvendo funções com raízes. Para resolver isso, vamos precisar simplificar as expressões no numerador e no denominador, identificando os termos que mais influenciam o comportamento da função quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador raizx^2+1 approx x . Quando x + raizx tende ao infinito, o termo dentro da raiz quadrada domina o , então podemos simplificar aproximando por . Isso nos dá:
Então, o numerador fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador raiz[4]x^3+x approx raiz[4]x^3 = x^3/4 . Aqui, a expressão dentro da raiz quarta é x^3/4 - x . Novamente, para valores grandes de , o termo dominante é . Portanto, podemos simplificar:
Assim, o denominador fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, substituímos as aproximações do numerador e denominador na expressão do limite:
limx +infty x + raizxx^3/4 - x
Para facilitar, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo termo dominante no denominador, que é limx +infty xx + raizxxx^3/4x - xx = limx +infty 1 + 1raizx1x^1/4 - 1 :

Passo 5

Agora, observamos o comportamento dos termos quando 1 + 00 - 1 = 1-1 = -1 tende ao infinito:
Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é .

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