Xavier e Yolanda têm aulas que terminam ao meio-dia e concordaram em se encontrar todo dia depois das aulas. Eles chegam em um café separadamente. O tempo de chegada de Xavier é X e o da Yolanda é Y, onde X e Y são medidos em minutos após o meio-dia. As funções densidade individuais são
f1(x)=ll e^-x & se x >= 0 0 & se x<0 f2(y)= 150 y & se 0 <= y <= 10 0 & caso contrário á
(Xavier chega algumas vezes depois do meio-dia, e é mais provável que ele chegue na hora do que se atrase. Yolanda sempre chega às 12 h 10 e é mais provável que se atrase do que chegue pontualmente.) Depois de Yolanda chegar, ela espera até meia hora por Xavier, mas ele não espera por ela. Determine a probabilidade de eles se encontrarem.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois amigos, Xavier e Yolanda, que chegam em um café depois das aulas e querem se encontrar. As chegadas deles são em momentos diferentes após o meio-dia, representados por X (para Xavier) e Y (para Yolanda), medidos em minutos.
Matéria envolvida: Probabilidade e funções de densidade de probabilidade.
O que precisamos: Calcular a probabilidade de eles se encontrarem, ou seja, quando Xavier chega dentro do intervalo de tempo que Yolanda está esperando por ele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções de densidade de probabilidade dadas:
  • Para Xavier: para e 0 caso contrário.
    Isso significa que Xavier tem mais probabilidade de chegar mais cedo e a probabilidade diminui exponencialmente conforme o tempo passa.
  • Para Yolanda: para e 0 caso contrário.
    Isso indica que Yolanda tem uma distribuição triangular, com maior probabilidade de chegar perto dos 10 minutos após o meio-dia.

Passo 3

Yolanda chega no café e espera por 30 minutos. Então, se ela chega às minutos após o meio-dia, ela estará lá até minutos.
Para que eles se encontrem, Xavier precisa chegar durante esse intervalo, ou seja, quando .

Passo 4

Vamos formalizar a probabilidade que queremos calcular:
P(Y <= X <= Y + 30)
Como X e Y são variáveis independentes, podemos calcular essa probabilidade utilizando as funções de densidade e .

Passo 5

A probabilidade conjunta de dois eventos independentes é o produto das probabilidades individuais. Assim, a probabilidade de Xavier chegar entre Y e Y+30 minutos após a chegada de Yolanda é:
P(Y <= X <= Y + 30) = integraly=0^10 integralx=y^y+30 f1(x) f2(y) , dx , dy

Passo 6

Substituindo as funções de densidade na integral:
P = integral0^10 integraly^y+30 e^-x cdot 150 y , dx , dy
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x.

Passo 7

Integrando em relação a x:
integraly^y+30 e^-x , dx = -e^-x |y^y+30 = -e^-(y+30) + e^-y = e^-y (1 - e^-30)

Passo 8

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
P = integral0^10 150 y cdot e^-y (1 - e^-30) , dy
Como P = 1 - e^-3050 integral0^10 y e^-y , dy é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral integral y e^-y , dy = -y e^-y - e^-y + C . Essa é uma integral que envolve partes, onde:
[ -y e^-y - e^-y ]0^10 = ( -10 e^-10 - e^-10 ) - ( 0 - 1 ) = -11 e^-10 + 1
Aplicando os limites de integração:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão para P:
P = 1 - e^-3050 cdot (1 - 11 e^-10)

Passo 11

Calculando os valores numéricos:
Sabemos que 1 - e^-30 approx 1 e 1 - 11 e^-10 approx 1 são valores muito pequenos, praticamente zero para fins práticos. Então:
P approx 1 cdot 150 = 150 = 0,02
Então:

Resposta

A probabilidade de Xavier e Yolanda se encontrarem é aproximadamente 2%.

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