Xavier e Yolanda têm aulas que terminam ao meio-dia e concordaram em se encontrar todo dia depois das aulas. Eles chegam em um café separadamente. O tempo de chegada de Xavier é e o da Yolanda é , onde e são medidos em minutos após o meio-dia. As funções densidade individuais são
(Xavier chega algumas vezes depois do meio-dia, e é mais provável que ele chegue na hora do que se atrase. Yolanda sempre chega às 12 h 10 e é mais provável que se atrase do que chegue pontualmente.) Depois de Yolanda chegar, ela espera até meia hora por Xavier, mas ele não espera por ela. Determine a probabilidade de eles se encontrarem.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois amigos, Xavier e Yolanda, que chegam em um café depois das aulas e querem se encontrar. As chegadas deles são em momentos diferentes após o meio-dia, representados por X (para Xavier) e Y (para Yolanda), medidos em minutos.
Matéria envolvida: Probabilidade e funções de densidade de probabilidade.
O que precisamos: Calcular a probabilidade de eles se encontrarem, ou seja, quando Xavier chega dentro do intervalo de tempo que Yolanda está esperando por ele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções de densidade de probabilidade dadas:
Para Xavier: para e 0 caso contrário.
Isso significa que Xavier tem mais probabilidade de chegar mais cedo e a probabilidade diminui exponencialmente conforme o tempo passa.
Para Yolanda: para e 0 caso contrário.
Isso indica que Yolanda tem uma distribuição triangular, com maior probabilidade de chegar perto dos 10 minutos após o meio-dia.
Passo 3
Yolanda chega no café e espera por 30 minutos. Então, se ela chega às minutos após o meio-dia, ela estará lá até minutos.
Para que eles se encontrem, Xavier precisa chegar durante esse intervalo, ou seja, quando .
Passo 4
Vamos formalizar a probabilidade que queremos calcular:
Como X e Y são variáveis independentes, podemos calcular essa probabilidade utilizando as funções de densidade e .
Passo 5
A probabilidade conjunta de dois eventos independentes é o produto das probabilidades individuais. Assim, a probabilidade de Xavier chegar entre Y e Y+30 minutos após a chegada de Yolanda é:
Passo 6
Substituindo as funções de densidade na integral:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x.
Passo 7
Integrando em relação a x:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 9
Agora, vamos calcular a integral . Essa é uma integral que envolve partes, onde:
Aplicando os limites de integração:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão para P:
Passo 11
Calculando os valores numéricos:
Sabemos que e são valores muito pequenos, praticamente zero para fins práticos. Então:
Então:
Resposta
A probabilidade de Xavier e Yolanda se encontrarem é aproximadamente 2%.