Xavier e Yolanda têm aulas que terminam ao meio-dia e concordaram em se encontrar todo dia depois das aulas. Eles chegam em um café separadamente. O tempo de chegada de Xavier é e o da Yolanda é , onde e são medidos em minutos após o meio-dia. As funções densidade individuais são
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(Xavier chega algumas vezes depois do meio-dia, e é mais provável que ele chegue na hora do que se atrase. Yolanda sempre chega às 12 h 10 e é mais provável que se atrase do que chegue pontualmente.) Depois de Yolanda chegar, ela espera até meia hora por Xavier, mas ele não espera por ela. Determine a probabilidade de eles se encontrarem.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois amigos, Xavier e Yolanda, que chegam em um café depois das aulas e querem se encontrar. As chegadas deles são em momentos diferentes após o meio-dia, representados por X (para Xavier) e Y (para Yolanda), medidos em minutos.
Matéria envolvida: Probabilidade e funções de densidade de probabilidade.
O que precisamos: Calcular a probabilidade de eles se encontrarem, ou seja, quando Xavier chega dentro do intervalo de tempo que Yolanda está esperando por ele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções de densidade de probabilidade dadas:
  • Para Xavier: para e 0 caso contrário.
    Isso significa que Xavier tem mais probabilidade de chegar mais cedo e a probabilidade diminui exponencialmente conforme o tempo passa.
  • Para Yolanda: para e 0 caso contrário.
    Isso indica que Yolanda tem uma distribuição triangular, com maior probabilidade de chegar perto dos 10 minutos após o meio-dia.

Passo 3

Yolanda chega no café e espera por 30 minutos. Então, se ela chega às minutos após o meio-dia, ela estará lá até minutos.
Para que eles se encontrem, Xavier precisa chegar durante esse intervalo, ou seja, quando .

Passo 4

Vamos formalizar a probabilidade que queremos calcular:
Como X e Y são variáveis independentes, podemos calcular essa probabilidade utilizando as funções de densidade e .

Passo 5

A probabilidade conjunta de dois eventos independentes é o produto das probabilidades individuais. Assim, a probabilidade de Xavier chegar entre Y e Y+30 minutos após a chegada de Yolanda é:

Passo 6

Substituindo as funções de densidade na integral:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x.

Passo 7

Integrando em relação a x:

Passo 8

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral . Essa é uma integral que envolve partes, onde:
Aplicando os limites de integração:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão para P:

Passo 11

Calculando os valores numéricos:
Sabemos que e são valores muito pequenos, praticamente zero para fins práticos. Então:
Então:

Resposta

A probabilidade de Xavier e Yolanda se encontrarem é aproximadamente 2%.

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