Determine se a sequência converge ou diverge (3ni + 2) / (n + ni)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Isso envolve conceitos de limites de sequências, especialmente no contexto de números complexos. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e calcular o limite quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Perceba que tanto no numerador quanto no denominador temos termos com , então vamos dividir cada termo por para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito. O termo vai se aproximar de zero, já que estamos dividindo um número fixo (2) por um número que cresce sem limites ( ).
Então, a expressão fica:

Passo 4

Para simplificar , vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é . Isso ajuda a eliminar a parte imaginária do denominador.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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