Calcule: lim x infty(raizx+raizx-raizx-2)

Passo 1

Ok, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções de raiz quadrada, que fazem parte do estudo do Cálculo, especificamente em limites no infinito. Para resolver isso, vamos usar técnicas de álgebra, como racionalização, para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão: . Quando tende ao infinito, tanto quanto tendem ao infinito. Isso pode tornar o cálculo direto do limite um pouco complicado, então vamos simplificar a expressão.

Passo 3

Uma técnica útil para simplificar expressões que envolvem diferenças de raízes quadradas é a racionalização. Para isso, multiplicamos e dividimos a expressão pelo conjugado do numerador. O conjugado de (raizx+raizx-raizx-2) times raizx+raizx+raizx-2raizx+raizx+raizx-2 é .
Então, multiplicamos e dividimos por esse conjugado:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e denominadores:
No numerador:
(raizx+raizx-raizx-2) times (raizx+raizx+raizx-2) = (x + raizx) - (x - 2) = raizx + 2
No denominador:
raizx+raizx+raizx-2
Então, a expressão fica:
raizx + 2raizx+raizx+raizx-2

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando raizx/raizx + 2/raizxraizx+raizx/raizx + raizx-2/raizx = 1 + 2raizxraiz1 + 1raizx + raiz1 - 2x tende ao infinito. Podemos dividir numerador e denominador por para simplificar:

Passo 6

Agora, ao fazer 1 + 0raiz1 + 0 + raiz1 - 0 = 11 + 1 = 12 , os termos , e tendem a zero. Então, simplificamos a expressão:

Resposta

O limite é .

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