Usando que
para
, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular
. Isso está relacionado ao estudo de limites, especificamente usando a propriedade que envolve logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender a substituição de variáveis e a aplicação da definição de derivada usando logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão fazendo uma troca de variável. Vamos deixar
. Assim, quando
se aproxima de
,
se aproxima de
. Substituindo na expressão original, temos:
Passo 3
Agora, vamos reescrever o denominador para facilitar a aplicação da propriedade do limite que conhecemos. Podemos reescrever
como
:
Isso fica assim:
Passo 4
Agora, lembrando da propriedade que foi dada:
para
. Aqui,
e
. Aplicando essa propriedade, temos:
Resposta
O limite é igual a
.
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Calcule: