Usando que lim x 0 a^x-1x=ln a para a>0, calcule: lim x -3 4^x+35-1x+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular . Isso está relacionado ao estudo de limites, especificamente usando a propriedade que envolve logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender a substituição de variáveis e a aplicação da definição de derivada usando logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão fazendo uma troca de variável. Vamos deixar lim t 0 4^t5 - 1t . Assim, quando se aproxima de , se aproxima de . Substituindo na expressão original, temos:

Passo 3

Agora, vamos reescrever o denominador para facilitar a aplicação da propriedade do limite que conhecemos. Podemos reescrever lim t 0 4^t5 - 1t5 cdot 15 como 15 cdot lim t 0 4^t5 - 1t5 :
Isso fica assim:

Passo 4

Agora, lembrando da propriedade que foi dada: 15 cdot ln 4 para . Aqui, e . Aplicando essa propriedade, temos:

Resposta

O limite é igual a .

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