Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A gente vai trabalhar com limites envolvendo funções trigonométricas, especialmente o cosseno. Para resolver, vamos precisar usar a regra de L’Hospital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando
se aproxima de 0 tanto no numerador quanto no denominador.
Passo 3
Calculando o numerador:
.
Calculando o denominador:
.
Então, temos uma forma indeterminada
, o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 4
A regra de L’Hospital diz que se
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 5
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Passo 6
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Podemos fatorar
no denominador:
Passo 7
Agora, substituímos
:
Resposta
O limite é
.