Calcule os seguintes limites: lim x 0 cos ^3(x)-1cos ^3(x)+cos (x)-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente vai trabalhar com limites envolvendo funções trigonométricas, especialmente o cosseno. Para resolver, vamos precisar usar a regra de L’Hospital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando se aproxima de 0 tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 3

Calculando o numerador: .
Calculando o denominador: .
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

A regra de L’Hospital diz que se limx to 0 cos^3(x) - 1cos^3(x) + cos(x) - 2 = limx to 0 f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Derivando o numerador:
f(x) = cos^3(x) - 1 f'(x) = 3cos^2(x) cdot (-sin(x)) = -3cos^2(x)sin(x)
Derivando o denominador:
g(x) = cos^3(x) + cos(x) - 2 g'(x) = 3cos^2(x) cdot (-sin(x)) + (-sin(x)) = -3cos^2(x)sin(x) - sin(x)

Passo 6

Agora, substituímos as derivadas no limite:
limx to 0 -3cos^2(x)sin(x)-3cos^2(x)sin(x) - sin(x)
Podemos fatorar -3cos^2(x)sin(x)-sin(x)(3cos^2(x) + 1) = 3cos^2(x)3cos^2(x) + 1 no denominador:

Passo 7

Agora, substituímos 3cos^2(0)3cos^2(0) + 1 = 3 cdot 13 cdot 1 + 1 = 34 :

Resposta

O limite é .

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