Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente vai trabalhar com limites envolvendo funções trigonométricas, especialmente o cosseno. Para resolver, vamos precisar usar a regra de L’Hospital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando se aproxima de 0 tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 3

Calculando o numerador: .
Calculando o denominador: .
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

A regra de L’Hospital diz que se resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Derivando o numerador:
Derivando o denominador:

Passo 6

Agora, substituímos as derivadas no limite:
Podemos fatorar no denominador:

Passo 7

Agora, substituímos :

Resposta

O limite é .

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