Explique pela definição matemática de continuidade por que a função
é descontínua em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre continuidade de funções. A tarefa é provar, usando a definição matemática de continuidade, que a função dada é descontínua em . Para isso, a gente vai precisar analisar os limites laterais da função quando se aproxima de 0 e comparar com o valor da função em .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
existe.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, a função é descontínua em .
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde . Primeiro, vamos identificar o valor da função em 0:
Então, a função existe em .
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0 pela esquerda ():
Sabemos que , onde é uma constante. No nosso caso, , então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0 pela direita ():
Passo 6
Agora, vamos reunir as informações:
O limite da função quando se aproxima de 0 pelo lado esquerdo e pelo lado direito é 8, mas o valor da função em 0 é 0.
Passo 7
Para a função ser contínua em , o limite da função quando se aproxima de 0 deve ser igual ao valor da função em 0. Aqui, temos:
Isso viola a terceira condição da continuidade.
Resposta
Portanto, pela definição matemática de continuidade, a função é descontínua em porque o limite da função quando se aproxima de 0 não é igual ao valor da função em 0.