Explique pela definição matemática de continuidade por que a função
f=l sen(8 x)x, se x<0 0, se x=0 8+x^2, se x>0
é descontínua em x=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre continuidade de funções. A tarefa é provar, usando a definição matemática de continuidade, que a função dada é descontínua em . Para isso, a gente vai precisar analisar os limites laterais da função quando se aproxima de 0 e comparar com o valor da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. existe.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, a função é descontínua em .

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde f(0) = 0 . Primeiro, vamos identificar o valor da função em 0:
Então, a função existe em .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando limx to 0^- f(x) = limx to 0^- sen(8x)x se aproxima de 0 pela esquerda ( limx to 0^- sen(8x)x = 8 ):
Sabemos que , onde é uma constante. No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite da função quando limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (8 + x^2) = 8 + 0 = 8 se aproxima de 0 pela direita ( ):

Passo 6

Agora, vamos reunir as informações:
O limite da função quando se aproxima de 0 pelo lado esquerdo e pelo lado direito é 8, mas o valor da função em 0 é 0.

Passo 7

Para a função ser contínua em limx to 0 f(x) = 8 neq f(0) = 0 , o limite da função quando se aproxima de 0 deve ser igual ao valor da função em 0. Aqui, temos:
Isso viola a terceira condição da continuidade.

Resposta

Portanto, pela definição matemática de continuidade, a função é descontínua em porque o limite da função quando se aproxima de 0 não é igual ao valor da função em 0.

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