Calcule: lim x -infty 5 x^3-2 x^2+1x+7

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x -infty 5 x^3-2 x^2+1x+7. Esse exercício faz parte do estudo de limites no infinito, especificamente lidando com funções racionais. Para resolver, vamos analisar o comportamento dos termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é 5x^3 e no denominador é x. Esses termos vão determinar o comportamento da função quando x tende a menos infinito.

Passo 3

Para simplificar a análise, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por x, que é o termo de maior grau do denominador:
5x^3-2x^2+1x+7 = 5x^3/x - 2x^2/x + 1/xx/x + 7/x = 5x^2 - 2x + 1x1 + 7x

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo conforme x tende a -infty:
  • 5x^2: Como x é negativo e elevado ao quadrado, x^2 será positivo e, multiplicado por 5, tende a +infty.
  • -2x: Com x negativo, -2x será positivo e tende a +infty.
  • 1x e 7x: Ambos os termos tendem a 0, pois o denominador cresce sem limite.

Passo 5

Simplificando a expressão com os comportamentos identificados:
5x^2 - 2x + 1x1 + 7x approx +infty + +infty + 01 + 0 = +infty1 = +infty

Resposta

lim x -infty 5 x^3-2 x^2+1x+7 = +infty

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