Calcule: lim x +infty 2 x^3-3 x^2+x-1x^2+x-3

Passo 1

Então, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado com o estudo de limites de funções racionais no infinito. Para resolver, vamos precisar entender como os termos de maior grau no numerador e no denominador influenciam o comportamento da função quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador é . Em limites no infinito para funções racionais, esses termos são os que mais afetam o resultado porque, para valores muito grandes de , os termos de menor grau se tornam menos significativos.

Passo 3

Agora, para simplificar a expressão, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo termo de maior grau do denominador, que é 2x^3-3x^2+x-1x^2+x-3 = 2x^3x^2 - 3x^2x^2 + xx^2 - 1x^2x^2x^2 + xx^2 - 3x^2 . Isso nos ajuda a visualizar melhor o comportamento da função quando tende ao infinito.

Passo 4

Simplificando cada termo:
2x^3x^2 = 2x
3x^2x^2 = 3
xx^2 = 1x
1x^2 = 1x^2
x^2x^2 = 1
xx^2 = 1x
3x^2 = 3x^2
Substituindo de volta na expressão:
2x - 3 + 1x - 1x^21 + 1x - 3x^2

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando 2x - 3 + 0 - 01 + 0 - 0 = 2x - 31 = 2x - 3 tende ao infinito:
  • tende a 0.
  • também tende a 0.
Então, a expressão simplifica para:

Passo 6

Finalmente, ao calcular o limite de limx +infty (2x - 3) = +infty quando tende ao infinito:

Resposta

O limite é .

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