Calcule
lim x infty(2 x-32 x+5)^2 x+1

Passo 1

Então, temos o problema de calcular o limite:
lim x infty(2 x-32 x+5)^2 x+1
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem potências e frações. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que têm a forma e utilizar a propriedade do número nesses casos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite:
2x - 32x + 5
Para facilitar, dividimos o numerador e o denominador por 2 - 3x2 + 5x :
2 - 02 + 0 = 22 = 1
Quando 2x - 32x + 5 = 2x + 5 - 82x + 5 = 1 - 82x + 5 tende ao infinito, (2x - 32x + 5)^2x + 1 = (1 - 82x + 5)^2x + 1 e tendem a zero. Então, a fração se aproxima de:
Mas queremos entender como essa fração se comporta exatamente, então vamos reescrever:
Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos utilizar a propriedade dos limites que envolve o número limn to infty (1 + an)^bn = e^ab :
(1 - 82x + 5)^2x + 1 approx (1 - 4x)^2x
No nosso caso, podemos ajustar a expressão para caber nessa forma. Observando:
Quando é muito grande, e .

Passo 4

Aplicando a propriedade mencionada:
limx to infty (1 - 4x)^2x = e^-8
Aqui, e , então .

Resposta

O limite é .

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