Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo. Identifique os pontos em que o gráfico intersecta os eixos coordenados e os pontos nos quais há uma mudança no comportamento do gráfico (por exemplo, um vértice de uma parábola).
(e)
(e)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício juntos. A questão pede para fazermos o gráfico e encontrar o conjunto imagem da função
, definida no intervalo
. Vamos precisar entender sobre funções quadráticas, como encontrar vértices, interceptações com os eixos e determinar o conjunto imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que
é uma função quadrática. As funções quadráticas têm a forma geral
e seu gráfico é uma parábola. Neste caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto onde há uma mudança de comportamento. A fórmula para a coordenada
do vértice é
.
Agora, substituímos
na função para encontrar
:
Então, o vértice é
.
Passo 4
Vamos encontrar as interceptações com os eixos:
Interceptação com o eixo
:
Para encontrar onde a parábola cruza o eixo , basta calcular
.
Para encontrar onde a parábola cruza o eixo
Portanto, a interceptação com o eixo
é
.
Interceptações com o eixo
:
Para encontrar onde a parábola cruza o eixo , resolvemos
:
Para encontrar onde a parábola cruza o eixo
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as interceptações com o eixo
são
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função no intervalo dado
. Como a parábola abre para cima (porque
), o valor mínimo ocorre no vértice.
Sabemos que o vértice está em
. Então, o menor valor de
no domínio é
.
Vamos calcular
e
para encontrar os valores nos limites do domínio:
Portanto, o conjunto imagem é
.
Passo 6
Para finalizar, vamos resumir os principais pontos do gráfico:
- Vértice:
– ponto de mudança na direção da parábola. - Interceptação com o eixo
: . - Interceptações com o eixo
: e . - Conjunto imagem:
.
Resposta
O conjunto imagem da função
no domínio
é
. Além disso, o gráfico intercepta o eixo
em
, os eixos
nos pontos
e
, e possui um vértice em
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de uma funçâo que satisfaça as seguintes propriedades:
Calcule
Uma companhia de distribuição de energia elétrica cobra
de taxa base por mês, mais
por kilowatt-hora ( kWh ) pelos primeiros 150 kWh usados e
por kWh por todo uso superior a 150 kWh . Suponha que um consumidor usou
de eletricidade num mês. Expresse o custo mensal
como uma função de
e faça seu gráfico para
.
Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo.
(a)
(a)