Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo. Identifique os pontos em que o gráfico intersecta os eixos coordenados e os pontos nos quais há uma mudança no comportamento do gráfico (por exemplo, um vértice de uma parábola).
(e)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício juntos. A questão pede para fazermos o gráfico e encontrar o conjunto imagem da função , definida no intervalo . Vamos precisar entender sobre funções quadráticas, como encontrar vértices, interceptações com os eixos e determinar o conjunto imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que é uma função quadrática. As funções quadráticas têm a forma geral e seu gráfico é uma parábola. Neste caso, , e .

Passo 3

Vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto onde há uma mudança de comportamento. A fórmula para a coordenada do vértice é .
Agora, substituímos na função para encontrar :
Então, o vértice é .

Passo 4

Vamos encontrar as interceptações com os eixos:
Interceptação com o eixo :
Para encontrar onde a parábola cruza o eixo , basta calcular .
Portanto, a interceptação com o eixo é .
Interceptações com o eixo :
Para encontrar onde a parábola cruza o eixo , resolvemos :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as interceptações com o eixo são e .

Passo 5

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função no intervalo dado . Como a parábola abre para cima (porque ), o valor mínimo ocorre no vértice.
Sabemos que o vértice está em . Então, o menor valor de no domínio é .
Vamos calcular e para encontrar os valores nos limites do domínio:
Portanto, o conjunto imagem é .

Passo 6

Para finalizar, vamos resumir os principais pontos do gráfico:
  • Vértice: – ponto de mudança na direção da parábola.
  • Interceptação com o eixo : .
  • Interceptações com o eixo : e .
  • Conjunto imagem: .

Resposta

O conjunto imagem da função no domínio é . Além disso, o gráfico intercepta o eixo em , os eixos nos pontos e , e possui um vértice em .

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Uma companhia de distribuição de energia elétrica cobra de taxa base por mês, mais por kilowatt-hora ( kWh ) pelos primeiros 150 kWh usados e por kWh por todo uso superior a 150 kWh . Suponha que um consumidor usou de eletricidade num mês. Expresse o custo mensal como uma função de e faça seu gráfico para .
Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo.
(a)