Esboce o gráfico de uma funçâo que satisfaça as seguintes propriedades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que desenhar o gráfico de uma função
que segue umas regras específicas. Isso envolve derivadas primeira e segunda, limites e simetria da função. Pra resolver isso, vamos precisar entender como a derivada funciona para saber se a função tá aumentando ou diminuindo, além de como a concavidade muda com a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a derivada primeira
. Ela é positiva quando
e negativa quando
. Isso significa que a função está crescente na região
e decrescente fora desse intervalo. O ponto
é onde a derivada é zero, indicando um ponto de máximo local nessa posição.
Passo 3
Agora, o limite
nos diz que a função se aproxima de 1 quando
cresce sem parar. Isso indica que a função tem uma assíntota horizontal em
.
Passo 4
A propriedade
mostra que a função é ímpar, ou seja, possui simetria em relação à origem. Isso significa que se a gente conhece o gráfico para
, já sabemos como ele se comporta para
invertendo os sinais.
Passo 5
Vamos falar da segunda derivada agora,
. Ela é negativa para
e positiva para
. Quando
, a função é côncava para baixo, e quando
, é côncava para cima. O ponto
é um ponto de inflexão, onde a concavidade muda.
Passo 6
Juntando tudo:
- Entre
e , a função está aumentando e é côncava para baixo até . - Fora desse intervalo, ela está diminuindo.
- Em
, temos um ponto de máximo local. - A função se aproxima de 1 quando
vai para o infinito. - Por ser ímpar, o gráfico à esquerda é o espelho invertido do lado direito.
- Há um ponto de inflexão em
onde a concavidade muda.
Resposta
O gráfico de
começa aumentando de forma côncava para baixo entre
e
, alcançando um máximo em
. Depois, começa a diminuir e a concavidade muda para côncava para cima após
. A função é simétrica em relação à origem, então o lado esquerdo reflete o direito invertido. À medida que
vai para o infinito, o gráfico se aproxima da linha horizontal
. A combinação dessas características resulta em um gráfico com um pico em
, decrescimento para ambos os lados e uma assíntota em
.