Esboce o gráfico de uma funçâo que satisfaça as seguintes propriedades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que desenhar o gráfico de uma função que segue umas regras específicas. Isso envolve derivadas primeira e segunda, limites e simetria da função. Pra resolver isso, vamos precisar entender como a derivada funciona para saber se a função tá aumentando ou diminuindo, além de como a concavidade muda com a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a derivada primeira . Ela é positiva quando e negativa quando . Isso significa que a função está crescente na região e decrescente fora desse intervalo. O ponto é onde a derivada é zero, indicando um ponto de máximo local nessa posição.

Passo 3

Agora, o limite nos diz que a função se aproxima de 1 quando cresce sem parar. Isso indica que a função tem uma assíntota horizontal em .

Passo 4

A propriedade mostra que a função é ímpar, ou seja, possui simetria em relação à origem. Isso significa que se a gente conhece o gráfico para , já sabemos como ele se comporta para invertendo os sinais.

Passo 5

Vamos falar da segunda derivada agora, . Ela é negativa para e positiva para . Quando , a função é côncava para baixo, e quando , é côncava para cima. O ponto é um ponto de inflexão, onde a concavidade muda.

Passo 6

Juntando tudo:
  • Entre e , a função está aumentando e é côncava para baixo até .
  • Fora desse intervalo, ela está diminuindo.
  • Em , temos um ponto de máximo local.
  • A função se aproxima de 1 quando vai para o infinito.
  • Por ser ímpar, o gráfico à esquerda é o espelho invertido do lado direito.
  • Há um ponto de inflexão em onde a concavidade muda.

Resposta

O gráfico de começa aumentando de forma côncava para baixo entre e , alcançando um máximo em . Depois, começa a diminuir e a concavidade muda para côncava para cima após . A função é simétrica em relação à origem, então o lado esquerdo reflete o direito invertido. À medida que vai para o infinito, o gráfico se aproxima da linha horizontal . A combinação dessas características resulta em um gráfico com um pico em , decrescimento para ambos os lados e uma assíntota em .

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(e)
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