Encontre as soluções das seguintes inequações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com valores absolutos, que é um conteúdo de Matemática que nos ajuda a trabalhar com a distância de um número em relação ao zero. Para resolver isso, precisamos considerar duas situações: quando a expressão dentro do valor absoluto é positiva e quando é negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quando a expressão dentro do valor absoluto, , é maior ou igual a zero. Isso acontece quando:

Resolvendo essa inequação:
Dividindo ambos os lados por -3 (e lembrando que ao dividir ou multiplicar por um número negativo, o sinal da inequação troca):

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação original assumindo que , ou seja, . Nesse caso, o valor absoluto se mantém positivo, então temos:

Vamos resolver essa inequação:
Somando aos dois lados:

Adicionando 12 aos dois lados:
Dividindo por 5:

Passo 4

Então, para o primeiro caso ( ), encontramos que . Mas como já sabemos que , essa condição já está mais restrita. Portanto, a solução para esse caso é:

Passo 5

Agora, vamos considerar o segundo caso, onde a expressão dentro do valor absoluto é negativa, ou seja, . Isso ocorre quando:

Resolvendo:
Dividindo por -3:

Passo 6

Nesse segundo caso ( ), o valor absoluto torna-se negativo, então temos:

Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Adicionando 2 aos dois lados:

Passo 7

Para o segundo caso ( ), encontramos que . Mas como já sabemos que , a condição mais restrita prevalece. Portanto, a solução para esse caso é:

Resposta

A solução da inequação é todo número real, ou seja, para todo , já que tanto quanto satisfazem a inequação.

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