Calcule:

Passo 1

Vamos calcular o limite da função quando tende para menos infinito ( ). Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites no infinito e identificar qual termo da função domina o comportamento quando fica muito grande negativamente.

Passo 2

Primeiro, observamos os diferentes termos da função:
  • : termo de quinto grau
  • : termo de quarto grau
  • : termo de segundo grau
  • : termo constante

Passo 3

Quando tende para , os termos com maiores potências de têm um impacto maior no valor da função. Nesse caso, o termo é o que mais influencia o comportamento da função.

Passo 4

Vamos analisar o termo dominante . Como está se aproximando de e a potência é ímpar, será negativo (porque um número negativo elevado a uma potência ímpar continua negativo). Multiplicando por 2, temos que tende para .

Passo 5

Os demais termos ( , e ) crescem, mas em velocidades menores comparadas a . Portanto, eles não afetam o comportamento final da função quando tende para .

Resposta

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Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas, : ©
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