Investigue a convergência da série a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para investigar se a série
converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e análise de termos gerais. Precisaremos entender o comportamento do termo geral da série quando
cresce, e para isso, vamos utilizar algumas fórmulas de fatoriais e propriedades de crescimento de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
Esse termo é conhecido como coeficiente binomial central, representado por
. Esses coeficientes são importantes em combinatória e possuem propriedades específicas que nos ajudam a entender seu comportamento para valores grandes de
.
Passo 3
Agora, precisamos entender como esse coeficiente binomial cresce à medida que
aumenta. Existe uma fórmula de aproximação para
que nos ajuda a simplificar:
Essa aproximação é válida para valores grandes de
e mostra que o coeficiente binomial cresce de forma exponencial com a base 4, diminuído por um fator que depende de
.
Passo 4
Com essa aproximação, podemos reescrever o termo geral da série:
Isso nos mostra que
cresce proporcionalmente a
, que é uma expressão exponencial com base maior que 1.
Passo 5
Para investigar a convergência da série, vamos utilizar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, então a série diverge.
Vamos calcular o limite:
Como
cresce exponencialmente e
cresce muito mais lentamente (como uma função raiz quadrada), o limite tende ao infinito:
Resposta
A série
não converge. Pelo Teste da Divergência, como o termo geral cresce sem limite (tende ao infinito), a série diverge.
Exercícios relacionados
Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas,
: ©
Determine se as seguintes sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótona.
b)
b)
Calcule:
Calcule: