Investigue a convergência da série a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para investigar se a série
converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e análise de termos gerais. Precisaremos entender o comportamento do termo geral da série quando cresce, e para isso, vamos utilizar algumas fórmulas de fatoriais e propriedades de crescimento de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
Esse termo é conhecido como coeficiente binomial central, representado por . Esses coeficientes são importantes em combinatória e possuem propriedades específicas que nos ajudam a entender seu comportamento para valores grandes de .

Passo 3

Agora, precisamos entender como esse coeficiente binomial cresce à medida que aumenta. Existe uma fórmula de aproximação para que nos ajuda a simplificar:
Essa aproximação é válida para valores grandes de e mostra que o coeficiente binomial cresce de forma exponencial com a base 4, diminuído por um fator que depende de .

Passo 4

Com essa aproximação, podemos reescrever o termo geral da série:
Isso nos mostra que cresce proporcionalmente a , que é uma expressão exponencial com base maior que 1.

Passo 5

Para investigar a convergência da série, vamos utilizar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral quando tende ao infinito não for zero, então a série diverge.
Vamos calcular o limite:
Como cresce exponencialmente e cresce muito mais lentamente (como uma função raiz quadrada), o limite tende ao infinito:

Resposta

A série
não converge. Pelo Teste da Divergência, como o termo geral cresce sem limite (tende ao infinito), a série diverge.

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Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas, : ©
Determine se as seguintes sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótona.
b)
Calcule:
Calcule: