Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas,
: ©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que para todo número natural positivo
, a soma da sequência
é igual a
. Isso envolve o princípio de indução matemática, que é uma ferramenta poderosa para provar que algo vale para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. É como subir escadas: a gente mostra que a afirmação funciona para o primeiro degrau (base da indução) e depois que, se funciona para um degrau qualquer, funciona para o próximo (passo indutivo).
Passo 3
Base da indução: Vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
.
Calculando a soma:
Calculando
para
:
Como
, a base da indução está ok!
Passo 4
Passo indutivo: Vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum
natural, ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para
. Ou seja, precisamos provar que:
Passo 6
Vamos usar a hipótese de indução para substituir a soma até
:
Vamos simplificar:
Passo 7
Agora, vamos expandir
:
Passo 8
Observamos que os dois resultados são iguais:
Então, a afirmação é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo
, temos que:
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótona.
b)
b)
Encontre um contraexemplo para as seguintes proposições. Lembre-se de que um contraexemplo é um exemplo explícito, que contraria uma afirmação: (b) Sejam
e
números reais. Tem-se
.
Investigue a convergência da série a seguir:
Calcule: