Prove, usando o princípio de indução, que as identidades abaixo são válidas, : ©

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que para todo número natural positivo , a soma da sequência é igual a . Isso envolve o princípio de indução matemática, que é uma ferramenta poderosa para provar que algo vale para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. É como subir escadas: a gente mostra que a afirmação funciona para o primeiro degrau (base da indução) e depois que, se funciona para um degrau qualquer, funciona para o próximo (passo indutivo).

Passo 3

Base da indução: Vamos verificar se a afirmação é verdadeira para .
Calculando a soma:
Calculando para :
Como , a base da indução está ok!

Passo 4

Passo indutivo: Vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum natural, ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para . Ou seja, precisamos provar que:

Passo 6

Vamos usar a hipótese de indução para substituir a soma até :
Vamos simplificar:

Passo 7

Agora, vamos expandir :

Passo 8

Observamos que os dois resultados são iguais:
Então, a afirmação é verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo , temos que:

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Determine se as seguintes sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótona.
b)
Encontre um contraexemplo para as seguintes proposições. Lembre-se de que um contraexemplo é um exemplo explícito, que contraria uma afirmação: (b) Sejam e números reais. Tem-se .
Investigue a convergência da série a seguir:
Calcule: