Calcule:
lim x infty(x-4x-1)^x+3 (Resposta: e^-3 )

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente limites que envolvem funções exponenciais e racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e a definição da constante matemática .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite:
x-4x-1
Podemos dividir o numerador e o denominador por 1 - 4x1 - 1x :
1 - 01 - 0 = 1
À medida que (x-4x-1)^x+3 = (1 + -3x-1)^x+3 tende ao infinito, os termos (1 - 3x)^x+3 approx (1 - 3x)^x e limx to infty (1 + ax)^bx = e^ab tendem a zero. Então, a fração simplifica para:
limx to infty (1 - 3x)^x = e^-3
No entanto, a expressão completa é , que se aproxima de , uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão de uma maneira que nos permita aplicar a definição de .
Vamos ajustar a expressão:
Para facilitar, vamos aproximar para grandes valores de , onde :
Sabemos que:
Aplicando essa propriedade com e :

Resposta

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