Use transformada de Laplace para resolver o PVI
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a transformada de Laplace! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais
e
. A função
é definida por:
Vamos precisar usar a transformada de Laplace para resolver essa equação, aplicando as propriedades de transformadas para derivadas e funções por partes.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
e
Então, aplicando a transformada:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a transformada de
. A função
é zero até
e depois “sent”. Vou interpretar “sent” como uma função contínua ou constante; porém, o enunciado está um pouco confuso aqui. Para continuar, vamos assumir que
é zero até
e então passa a valer 1, ou seja:
onde
é a função degrau de Heaviside. A transformada de
é:
Então,
Passo 4
Voltando à equação transformada:
Isolando
:
Isso pode ser separado em duas partes:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo. Sabemos que:
Para o segundo termo, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções retardadas:
Calculando
:
Então,
Portanto, a transformada inversa completa é:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Calcule:
(Resposta:
)
Calcule:
(Resposta:
)