Use transformada de Laplace para resolver o PVI
onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a transformada de Laplace! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais e . A função é definida por:
Vamos precisar usar a transformada de Laplace para resolver essa equação, aplicando as propriedades de transformadas para derivadas e funções por partes.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
e
Então, aplicando a transformada:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada de . A função é zero até e depois “sent”. Vou interpretar “sent” como uma função contínua ou constante; porém, o enunciado está um pouco confuso aqui. Para continuar, vamos assumir que é zero até e então passa a valer 1, ou seja:
onde é a função degrau de Heaviside. A transformada de é:
Então,

Passo 4

Voltando à equação transformada:
Isolando :
Isso pode ser separado em duas partes:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo. Sabemos que:
Para o segundo termo, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções retardadas:
Calculando :
Então,
Portanto, a transformada inversa completa é:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule:
(Resposta: )
Calcule:
(Resposta: )