Calcule:
lim x infty(2 x+72 x)^x (Resposta: e^3 raize)

Passo 1

Vamos calcular o limite de (2x + 72x)^x quando x tende ao infinito. Esse problema pertence ao conteúdo de limites em funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de limites e entender como expressões da forma (1 + ax)^x se comportam quando x cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
(2x + 72x)^x = (1 + 72x)^x

Passo 3

Agora, observamos que a expressão está na forma (1 + ax)^x, onde a = 72. Sabemos que quando x tende ao infinito, ax tende a zero.

Passo 4

Lembramos de uma propriedade importante dos limites exponenciais:
limx to infty (1 + ax)^x = e^a
Essa identidade nos ajuda a calcular limites de expressões similares.

Passo 5

Aplicando essa propriedade à nossa expressão, temos:
limx to infty (1 + 72x)^x = e^72

Passo 6

Podemos reescrever e^72 de uma forma que facilite a interpretação:
e^72 = e^3 cdot e^12 = e^3 cdot raize

Resposta

e^3 raize

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