Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
tende a
:
- O numerador
cresce muito rápido e tende a . - O denominador
também tende a , mas cresce mais devagar comparado à função exponencial.
Isso nos dá uma forma
, que é uma situação onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Para isso, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, o limite fica:
Passo 4
Vamos analisar novamente esse novo limite:
- O numerador
ainda cresce muito rápido e tende a . - O denominador
também tende a , mas igualmente mais devagar.
Novamente, temos uma forma
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Agora, o limite fica:
Como
tende a
, o próprio limite tende a
.
Resposta
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Derive
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Esboce o gráfico de
, seguindo o roteiro a seguir:
Calcule os limites laterais de em
, se
não pertence ao domínio de
Calcule os limites laterais de