Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando tende a :
  • O numerador cresce muito rápido e tende a .
  • O denominador também tende a , mas cresce mais devagar comparado à função exponencial.
Isso nos dá uma forma , que é uma situação onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Para isso, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, o limite fica:

Passo 4

Vamos analisar novamente esse novo limite:
  • O numerador ainda cresce muito rápido e tende a .
  • O denominador também tende a , mas igualmente mais devagar.
Novamente, temos uma forma , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
Agora, o limite fica:
Como tende a , o próprio limite tende a .

Resposta

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Derive
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Esboce o gráfico de , seguindo o roteiro a seguir:
Calcule os limites laterais de em , se não pertence ao domínio de