Calcule lim x 3 integral3^x cos (t)1-t d t3-x. (Sugestão: use a regra de l

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
limx 3 integral3^x cos(t)1 - t , dt3 - x
Isso envolve conceitos de cálculo que incluem limites, integrais e a Regra de L’Hospital. Vamos precisar entender como calcular o limite de uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando se aproxima de 3. Para isso, vamos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 3.
  • Numerador: . Quando , a integral de 3 a 3 é 0.
  • Denominador: . Quando , isso também é 0.
Então, temos uma forma indeterminada . Nesses casos, a Regra de L’Hospital é útil.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos diz que se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) resulta em ou , podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos aplicar isso ao nosso limite.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a derivada do numerador e do denominador em relação a f'(x) = cos(x)1 - x .
  • Numerador: g'(x) = -1 . A derivada de uma integral com limite variável é a função dentro da integral avaliada em :
  • Denominador: . A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:
limx 3 cos(x)1 - x-1
Simplificando a fração:
limx 3 cos(x)1 - x times 1-1 = limx 3 -cos(x)1 - x
Podemos reescrever limx 3 -cos(x)-(x - 1) = limx 3 cos(x)x - 1 como :

Passo 6

Agora, substituímos cos(3)3 - 1 = cos(3)2 na expressão:

Resposta

cos(3)2

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