Calcule
. (Sugestão: use a regra de l
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Isso envolve conceitos de cálculo que incluem limites, integrais e a Regra de L’Hospital. Vamos precisar entender como calcular o limite de uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando
se aproxima de 3. Para isso, vamos usar a Regra de L’Hospital.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 3.
- Numerador:
. Quando , a integral de 3 a 3 é 0. - Denominador:
. Quando , isso também é 0.
Então, temos uma forma indeterminada
. Nesses casos, a Regra de L’Hospital é útil.
Passo 3
A Regra de L’Hospital nos diz que se
resulta em
ou
, podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos aplicar isso ao nosso limite.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a derivada do numerador e do denominador em relação a
.
- Numerador:
. A derivada de uma integral com limite variável é a função dentro da integral avaliada em :
- Denominador:
. A derivada de em relação a é:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:
Simplificando a fração:
Podemos reescrever
como
:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão:
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva:
Resolva:
Calcule as derivadas das funções abaixo:
a)
a)
Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
b)
b)