Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e não é linear por causa do termo . Para resolver, vamos precisar usar separação de variáveis e frações parciais. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação para isolar . Temos:
Agora, isso nos permite escrever a equação na forma .
Passo 3
A próxima etapa é separar as variáveis, ou seja, colocar tudo com de um lado e do outro. Dividimos ambos os lados por :
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. Mas antes, precisamos simplificar a fração à esquerda usando frações parciais. Vamos fatorar o denominador:
Então, escrevemos:
Passo 5
Vamos resolver para e . Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores de que simplificam a equação:
Se :
Se :
Passo 6
Substituindo e na fração original:
Agora, podemos integrar ambos os lados:
Passo 7
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.
Passo 8
Vamos simplificar a expressão utilizando propriedades dos logaritmos: