Resolva:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e não é linear por causa do termo . Para resolver, vamos precisar usar separação de variáveis e frações parciais. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para isolar . Temos:
Agora, isso nos permite escrever a equação na forma .

Passo 3

A próxima etapa é separar as variáveis, ou seja, colocar tudo com de um lado e do outro. Dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. Mas antes, precisamos simplificar a fração à esquerda usando frações parciais. Vamos fatorar o denominador:
Então, escrevemos:

Passo 5

Vamos resolver para e . Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :

Passo 6

Substituindo e na fração original:
Agora, podemos integrar ambos os lados:

Passo 7

Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Vamos simplificar a expressão utilizando propriedades dos logaritmos:
Podemos reescrever isso como:
Onde é uma nova constante.

Passo 9

Agora, vamos resolver para :
Distribuindo :
Agrupando os termos com :
Fatorando :

Passo 10

Finalmente, isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva:
Calcule as primitivas abaixo:
b. .
Calcule . (Sugestão: use a regra de l
Calcule as derivadas das funções abaixo:
a)