Calcule lim x 1 2 ln (x)x-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente tratando de limites envolvendo funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de limite e como aplicar regras como a de L’Hôpital quando nos deparamos com formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a função quando ln(1) = 0 e 1 - 1 = 0 se aproxima de 1. Calculando diretamente:
Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos usar uma técnica especial para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada limx a f(x)g(x) = limx a f'(x)g'(x) , uma das ferramentas mais úteis é a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que:
desde que ambos os limites existam.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiro, encontramos as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador, ddx[2 ln(x)] = 2x :
ddx[x - 1] = 1
Derivada do denominador, :

Passo 5

Agora, aplicamos essas derivadas ao limite:
limx 1 2 ln(x)x-1 = limx 1 2x1 = limx 1 2x

Passo 6

Finalmente, substituímos 21 = 2 por 1 na expressão resultante:

Resposta

O limite é igual a 2.

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