Considere a função .
Determine as assíntotas (caso existam) de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar as assíntotas da função . Assíntotas são linhas que a função se aproxima quando vai para mais ou menos infinito ou em pontos onde a função não está definida. Vamos precisar usar limites para descobrir essas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se tem alguma assíntota vertical. Essas acontecem quando o denominador da fração se aproxima de zero, fazendo a função “explodir” (ir para ).
Olha o denominador: . Será que ele alguma vez é zero?
Não tem nenhum número real que ao quadrado dê -1. Então, a função não tem assíntotas verticais.

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas são encontradas analisando o comportamento de quando vai para ou .
Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Simplificando a fração:
Quando vai para , vai para 0:
Então:
De igual forma, para tendendo a :
Então, é uma assíntota horizontal.

Passo 4

Por último, vamos checar se existe alguma assíntota oblíqua. Geralmente, isso acontece quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador. No nosso caso, o numerador é de grau 1 ( ) e o denominador é de grau 2 ( ). Como o grau do numerador é menor, não tem assíntota oblíqua.

Resposta

A função tem uma única assíntota horizontal, que é a reta . Não existem assíntotas verticais nem oblíquas.

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